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dove si è posto per brevità
.
La condizione (10) fornisce come equazione differenziale dello spazio di dimensioni ortogonale a tutte queste geodetiche la seguente
,
donde integrando
. | (12) |
Confrontando questa equazione colla (8) si vede che lo spazio definito da essa è anche il luogo dei punti equidistanti dal punto , e chiamando la distanza costante si ha
.
Siccome l’equazione (12), pel modo in cui fu ottenuta, sussiste ancho quando il punto va all’infinito, cioè quando diventa nullo e infinito, così si vede che in questo caso il prodotto converge verso un limite finito, che non può differire da quello del prodotto . Quindi scrivendo invece di e facendo andare all’infinito il punto , mentre rimane costante, si ottiene al limite l’equazione
, | (13) |
dove
,
e quest’equazione rappresenta un sistema di spazii ad dimensioni, che possono essere definiti come le trajettorie ortogonali di tutte le geodetiche convergenti verso uno stesso punto all’infinito ). Le varie trajettorie sono distinte fra loro dai valori del parametro , che esprime la distanza costante fra una qualunque di esse e la trajettoria determinata . La costante è data quando è dato un punto di quest’ultima trajettoria.