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dove si è posto per brevità

$z=a^{2}-x_{1}x_{1}^{0}-x_{2}x_{2}^{0}-\cdots -x_{n}x_{n}^{0}$.

La condizione (10) fornisce come equazione differenziale dello spazio di $n-1$ dimensioni ortogonale a tutte queste geodetiche la seguente

${\frac {dz}{z}}={\frac {dx}{x}}$,

donde integrando

${\frac {a^{2}-x_{1}x_{1}^{0}-x_{2}x_{2}^{0}-\cdots -x_{n}x_{n}^{0}}{\sqrt {a^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}}}}=C$.

(12)

Confrontando questa equazione colla (8) si vede che lo spazio definito da essa è anche il luogo dei punti equidistanti dal punto $(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\ldots x_{n}^{0})$, e chiamando $\rho$ la distanza costante si ha

$C={\sqrt {a^{2}-x_{1}^{0^{2}}-x_{2}^{0^{2}}-\cdots -x_{n}^{0^{2}}}}\cdot \cosh {\frac {\rho }{R}}=x^{0}\cosh {\frac {\rho }{R}}$.

Siccome l’equazione (12), pel modo in cui fu ottenuta, sussiste ancho quando il punto $(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\ldots x_{n}^{0})$ va all’infinito, cioè quando $x^{0}$ diventa nullo e $\rho$ infinito, così si vede che in questo caso il prodotto $x^{0}\cosh {\frac {\rho }{R}}$ converge verso un limite finito, che non può differire da quello del prodotto ${\frac {1}{2}}x^{0}\,e^{\frac {\rho }{R}}$. Quindi scrivendo $\rho '-\rho$ invece di $\rho$ e facendo andare all’infinito il punto $(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\ldots x_{n}^{0})$, mentre $\rho$ rimane costante, si ottiene al limite l’equazione

${\frac {a^{2}-x_{1}x_{1}^{0}-x_{2}x_{2}^{0}-\cdots -x_{n}x_{n}^{0}}{\sqrt {a^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}}}}=k\,e^{-{\frac {\rho }{R}}}$,

(13)

dove

$x_{1}^{0^{2}}+x_{2}^{0^{2}}+\cdots +x_{n}^{0^{2}}=a^{2}$,

e quest’equazione rappresenta un sistema di spazii ad $n-1$ dimensioni, che possono essere definiti come le trajettorie ortogonali di tutte le geodetiche convergenti verso uno stesso punto all’infinito $(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\ldots x_{n}^{0}$). Le varie trajettorie sono distinte fra loro dai valori del parametro $\rho$, che esprime la distanza costante fra una qualunque di esse e la trajettoria determinata $\rho =0$. La costante $k$ è data quando è dato un punto di quest’ultima trajettoria.