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donde

$d\left({\frac {a}{x}}\right)^{2}-d\left({\frac {x_{1}}{x}}\right)^{2}=d\left({\frac {b}{y}}\right)^{2}-d\left({\frac {y_{1}}{y}}\right)^{2}$.

In virtù di quest’ultima equazione, la seconda delle (15) dà

${\frac {dx^{2}+d_{x}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{x^{2}}}={\frac {dy^{2}+dy_{1}^{2}+\cdots +dy_{n}^{2}}{y^{2}}}$,

donde consegue che l’espressione dell’elemento lineare conserva la stessa forma anche mutando l’origine, e quindi, per un ragionamento analogo a quello di pocanzi, che la sovrapponibilità ha luogo in ogni caso, poichè basterebbe ora far uso di una nuova sostituzione ortogonale per rendere i nuovi assi affatto indipendenti dai primi.

Le (14) (15, 1ª) (17) danno

$x_{r}=\pm {\frac {ay_{r}{\sqrt {a^{2}-a_{1}^{2}}}}{ab+a_{1}y_{1}}}$

per $r=2,3,\ldots n$,

da cui e dalla (16, 2ª) si conclude che la più generale trasformazione d’assi ha luogo per mezzo di sostituzioni omografiche.

Prescindendo da questa trasformazione delle coordinate $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$ $x_{n}$ in altre della stessa specie, vi sono altre trasformazioni che danno all’elemento una forma notabile. Quella che si potrebbe chiamar polare si ottiene ponendo primieramente

$x_{1}=r\lambda _{1}$,

$x_{2}=r\lambda _{2}$,

$\ldots x_{n}=r\lambda _{n}$,

colla condizione $\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\cdots +\lambda _{n}^{2}=1$. Di qui si ricava

$dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}=dr^{2}+r^{2}d\Lambda ^{2}$,

dove $d\Lambda ^{2}=d\lambda _{1}^{2}+d\lambda _{2}^{2}+\cdots +d\lambda _{n}^{2}$, epperò

$ds^{2}=\left({\frac {Radr}{a^{2}-r^{2}}}\right)^{2}+{\frac {R^{2}r^{2}}{a^{2}-r^{2}}}d\Lambda ^{2}$.

Ma chiamando $\rho$ la distanza geodetica dall’origine, o polo, al punto $(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})$, si ha

${\frac {Radr}{a^{2}-r^{2}}}=d\rho$,

${\frac {r^{2}}{a^{2}-r^{2}}}={\text{senh}}^{2}{\frac {\rho }{R}}$,