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dunque

$ds^{2}=d\rho ^{2}+\left(R{\text{senh}}{\frac {\rho }{R}}\right)^{2}d\Lambda ^{2}$,

(18)

forma che giustifica la denominazione di polare, poichè in essa le variabili sono il raggio vettore $\rho$, e le quantità $\lambda$ che definiscono la direzione di questo raggio.

Da questa forma si passa facilmente ad un’altra che si potrebbe chiamare stereografica, e che si ottiene ponendo

$\xi _{n}=2R\,{\text{tgh}}{\frac {\rho }{2R}}\cdot \lambda _{r}$,

dove $\rho$ e $\lambda$, hanno i significati di pocanzi. Di qui si cava

$\lambda _{r}d\rho +R\,{\text{senh}}{\frac {\rho }{R}}\cdot d\lambda _{r}=d\xi _{n}\cosh ^{2}{\frac {\rho }{2R}}$,

$\cosh ^{2}{\frac {\rho }{2R}}={\frac {1}{1-{\frac {\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\cdots +\xi _{n}^{2}}{4R^{2}}}}}$,

e quindi, quadrando e sommando le equazioni che risultano dalla penultima col fare $r=1,2,\ldots n$, con riguardo all’ultima ed alla (18),

$ds={\frac {\sqrt {d\xi _{1}^{2}+d\xi _{2}^{2}+\cdots +d\xi _{n}^{2}}}{1-{\frac {\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\cdots +\xi _{n}^{2}}{4R^{2}}}}}$.

(19)

Questa forma è stata indicata senza dimostrazione da Riemann, nella citata Memoria postuma (II, § 4).

Riemann ha indicato un altro sistema di coordinate, dal quale egli trae la misura delle curvature di un dato spazio intorno ad un punto (II, § 2). Queste coordinate sono per certi rispetti analoghe alle ortogonali cartesiane, poichè si ottengono dalle polari col porre

$z_{1}=\rho \lambda _{1}$, $z_{2}=\rho \lambda _{2}$, $\cdots$, $z_{n}=\rho \lambda _{n}$.

Da queste si ha

$d\lambda _{r}={\frac {\rho dr_{n}-z_{r}d\rho }{\rho ^{2}}}$,