Pagina:Beltrami - Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante - 1868.pdf/16

Da Wikisource.
12

epperò, quadrando e sommando,

ossia

,

dove il segno comprende tutte le combinazioni binarie degli indici. Si ha pure

,

laonde, sostituendo nella (18), si ottiene finalmente

, (20)

ossia

, (20')

dove , e dove la serie convergente posta fra parentesi procede secondo le potenze crescenti di . Per piccolissimi valori di si può prendere semplicemente

.

Ora considerando un elemento di superficie passante per l’origine, si può fare in modo (con un’opportuna scelta degli assi , ossia ) che esso coincida con quello della superficie , , , alla quale corrisponde, nelle vicinanze dell’origine, l’elemento lineare

;

e poichè l’area del triangolo infinitesimo che ha i vertici nei punti , , , dei quali il secondo è infinitamente vicino all’origine, è , se ne conclude che è eguale al quadruplo del quadrato dell’area del triangolo infinitesimo che ha i vertici nei punti , , il secondo dei quali è