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di tutte le geodetiche convergenti verso uno stesso punto all’infinito, cioè di un sistema di geodetiche parallele fra loro. Reciprocamente ciascuna di queste trajettorie ortogonali ha in ogni punto la curvatura nulla, epperò due qualunque di esse (appartenenti o meno al medesimo sistema) sono sovrapponibili l’una all’altra in tutti i modi possibili.

Introducendo nella (21) la variabile $\rho$ al posto della $\eta$ si ha l’altra forma equivalente

$ds^{2}=d\rho ^{2}+k'^{2}e^{-{\frac {2\varrho }{R}}}(d\eta _{1}^{2}+d\eta _{2}^{2}+\cdots +d\eta _{n-1}^{2})$.

(21)'

Si è già veduto che il complesso di $n-1$ equazioni lineari fra le coordinate $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots x_{n}$ rappresenta una linea geodetica. Vediamo cosa rappresenti, più in generale, il complesso di $n-m$ equazioni lineari.

Supponendo dedotte da queste equazioni le espressioni di $n-m$ coordinate in funzione delle rimanenti $m$, riesce manifesto che il numero dei parametri indipendenti contenuti in un tal sistema è $(m+1)(n-m)$. Si immagini ora che tutte le $n$ coordinate $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots x_{n}$ vengano espresse linearmente in funzione di $m$ variabili $u_{1}$, $u_{2}$, $\ldots u_{m}$. Queste espressioni comprendono fra tutte $(m+1)\,n$ parametri, ma se si assoggettano questi parametri a verificare l’identità

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots +u_{m}^{2}+h^{2}$

($h$ restando indeterminata), è chiaro che si aggiungono con ciò $\textstyle {\frac {m(m+1)}{z}}+m$ condizioni, talchè il numero dei parametri indipendenti rimane di $\textstyle (m+1)n-{\frac {m(m+1)}{2}}-m$. Ora questo numero eccede di $\textstyle {\frac {m(m-1)}{2}}$ il numero $(m+1)(n-m)$; dunque le relazioni ammesse fra le $x$ e le $u$, colla indicata condizione, sono tali da poter sempre tener luogo, senza restrizione alcuna, del dato sistema di $n-m$ equazioni. Ciò posto, da quelle relazioni, ponendo

$u^{2}+u_{1}^{2}+\cdots +u_{m}^{2}=a^{2}-h^{2}=a'^{2}$,

si deduce

$dx^{2}+dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}=du^{2}+du_{1}^{2}+\cdots +du_{m}^{2}$,

$x^{2}=u^{2}$,

dunque

$ds=R{\frac {\sqrt {du^{2}+du_{1}^{2}+\cdots +du_{m}^{2}}}{u}}$