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dove le $m$, $m'$ sono parametri costanti. Queste due superficie sono intersecate dallo spazio $x_{1}=a_{1}$ secondo due geodetiche che, per una precedente osservazione, sono ortogonali all’asse $x_{1}$. I due punti di coordinate

$(x_{2}=a_{1},\;\;\;x_{2}=m_{2}x_{n},\ldots \;\;\;x_{n-1}=m_{n-1}x_{n},\;\;\;x_{n}=x_{n})$,

$(x_{2}=a_{1},\;\;\;x_{2}=m'_{2}x'_{n},\ldots \;\;\;x_{n-1}=m'_{n-1}x'_{n},\;\;\;x_{n}=x'_{n})$,

giacciono rispettivamente sulla prima e sulla seconda superficie, e precisamente sulle due geodetiche anzidette, e la loro distanza $\rho$ è data (8) dalla formola

$\cosh {\frac {\rho }{R}}={\frac {a^{2}-a_{1}^{2}-Mx_{n}x'_{n}}{\sqrt {(a^{2}-a_{1}^{2}-m^{2}x_{n}^{2})(a^{2}-a_{1}^{2}-m'^{2}x_{n}'^{2})}}}$,

dove si è posto

$m^{2}=1+m_{2}^{2}+\cdots +m_{n-1}^{2}$,

$m'^{2}=1+m_{2}'^{2}+\cdots +m_{n-1}'^{2}$,

$M=1+m_{2}m'_{2}+\cdots ++m_{n-1}m'_{n-1}$.

Da essa, chiamando $\sigma$, $\sigma '$ le lunghezze delle due geodetiche comprese fra il punto comune $x_{1}=a_{1}$, ed i due punti considerati, si trae

$\cosh {\frac {\sigma }{R}}={\frac {\sqrt {a^{2}-a_{1}^{2}}}{\sqrt {a^{2}-a_{1}^{2}-m^{2}x_{n}^{2}}}}$,

$\cosh {\frac {\sigma '}{R}}={\frac {\sqrt {a^{2}-a_{1}^{2}}}{\sqrt {a^{2}-a_{1}^{2}-m'^{2}x_{n}'^{2}}}}$,

e quindi

${\text{senh}}\,{\frac {\sigma }{R}}={\frac {mx_{n}}{\sqrt {a^{2}-a_{1}^{2}-m^{2}x_{n}^{2}}}}$,

${\text{senh}}\,{\frac {\sigma '}{R}}={\frac {m'x'_{n}}{\sqrt {a^{2}-a_{1}^{2}-m'^{2}x_{n}'^{2}}}}$,

valori i quali mostrano che

$\cosh {\frac {\rho }{R}}=\cosh {\frac {\sigma }{R}}\cosh {\frac {\sigma '}{R}}-{\frac {M}{mm'}}{\text{senh}}\,{\frac {\sigma }{R}}{\text{senh}}\,{\frac {\sigma '}{R}}$.

Siccome in questa formola non resta più traccia del punto $a_{1}$ preso sull’asse $x_{1}$, così si vede che da qualunque punto di questo asse si conducano nelle due superficie le geodetiche di lunghezza $\sigma$, $\sigma '$, la distanza geodetica dei loro estremi è sempre costante. E poichè questa proprietà sussiste per lunghezze $\sigma$, $\sigma '$ qualunque, necessariamente sussiste per lunghezze infinitesime, donde scaturisce il teorema annunciato.

Ammettendo, come già si è fatto implicitamente nel porre la condizione

Beltrami.

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