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e quindi, eliminando $c$,

$x={\frac {x^{0}\cosh {\frac {\rho _{0}}{R}}}{\cosh {\frac {\rho -\rho _{0}}{R}}}}$,

equazione cui si può dare la forma

${\frac {x^{2}{\text{senh}}^{2}{\frac {\rho }{R}}}{\cosh ^{2}{\frac {\rho _{0}}{R}}}}=2xx^{0}\cosh {\frac {\rho }{R}}-x^{2}-x^{0^{2}}$.

(7)

D’altra parte, avendosi dalle equazioni precedenti

$x\Omega ={\frac {x^{2}d\rho }{R}}={\frac {1}{c^{2}}}d{\text{tgh}}{\frac {\rho -\rho _{0}}{R}}$,

le (4) danno

$x_{1}=a_{1}+{\frac {c_{1}}{c^{2}}}{\text{tgh}}{\frac {\rho -\rho _{0}}{R}}$,

$x_{2}=a_{2}+{\frac {c_{2}}{c^{2}}}{\text{tgh}}{\frac {\rho -\rho _{0}}{R}}$,

ecc.,

ovvero, sostituendo alle costanti $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$ le $x_{1}^{0}$, $x_{2}^{0}$, $\ldots$,

$x_{1}-x_{1}^{0}=c_{1}xx^{0}{\text{senh}}{\frac {\rho }{R}}$,

$x_{2}-x_{2}^{0}=c_{2}xx^{0}{\text{senh}}{\frac {\rho }{R}}$,

ecc.,

donde, quadrando e sommando,

$2(a^{2}-x_{1}x_{1}^{0}-x_{2}x_{2}^{0}-\cdots -x_{n}x_{n}^{0})-x^{2}-x^{0^{2}}=c^{2}x^{2}x^{0^{2}}{\text{senh}}^{2}{\frac {\rho }{R}}$.

Quest’equazione, in virtù delle (6) (7), dà finalmente

$\cosh {\frac {\rho }{R}}={\frac {a^{2}-x_{1}x_{1}^{0}-x_{2}x_{2}^{0}-\cdots -x_{n}x_{n}^{0}}{\sqrt {(a^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2})(a^{2}-x_{1}^{0^{2}}-x_{2}^{0^{2}}-\cdots -x_{n}^{0^{2}})}}},$

(8)

e questa è la formola generale che porge la lunghezza di un arco geodetico in funzione delle coordinate dei suoi termini.

Supposte reali le variabili $x$, $x_{1}$, $\ldots$ $x_{n}$, e le costanti $R$, $a$, il limite dello spazio di $n$ dimensioni qui considerato è lo spazio di $n-1$ dimensioni dato dall’equazione

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=a^{2}$.

(9)