Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/14

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processo non si può raggiungere il punto d’incontro [determinare: ὁρίζειν], non che esso non esista.

Proclo osserva inoltre che, «poichè la somma di due angoli d’un triangolo è minore di due angoli retti [Euclide, XVII], esistono delle rette che tagliate da una terza s’incontrano da quella parte in cui la somma degli angoli interni è minore di due angoli retti; così a chi asserisce che per una qualunque differenza fra detta somma e due angoli retti le due rette non s’incontrano, si può rispondere che per differenze minori le rette s’incontrano».

«Ma se per alcune coppie di rette formanti con una terza angoli interni da una stessa parte la cui somma è minore di due angoli retti, esiste un punto d’incontro, resta a vedere se ciò accade per tutte le coppie. Poichè alcuno potrebbe osservare che vi fosse una certa deficienza [da due angoli retti] per la quale esse [rette] non s’incontrano, incontrandosi invece tutte le altre per le quali tale deficienza fosse ulteriore, [Proclo, pag. 371]». Dal seguito risulterà che il dubbio qui affacciato da Proclo ha fondamento soltanto nel caso in cui il segmento AC della trasversale [Fig. 3] rimane invariabile, mentre le due rette della coppia, ruotando intorno ai punti A e C, fanno variare la loro deficienza.

§ 5. Un’altra dimostrazione assai antica del V postulato, riportata nel Commento arabo di Al-Nirizi1 [IX secolo], pervenutoci ancora attraverso la traduzione latina di Gherardo da Cremona2 [XII secolo], è attribuita ad Aganis3.

  1. Cfr. R.-O. Besthorn ed J.-L. Heiberg. «Codex Leidensis 399, 1. Euclidis Elementa ex interpretatione Al-Hadschdschadsch cum commentariis Al-Narizii». [Copenhague, F. Hegel, 1893-97].
  2. Cfr. M. Curtze: «Anaritii in decem libros priores Elementorum Euclidis Commentarii. Ex interpretatione Gherardi Cremonensis in codice Cracoviensi 569 servata. [Lipsia, Teubner, 1899].
  3. A proposito di Aganis è bene notare che è da Curtze ed Heiberg identificato con Gemino. Invece P.Tannery, rigetta tale