Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/201

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NOTA II.


Le parallele e la superficie di Clifford. Cenni sul problema di Clifford-Klein.


LE PARALLELE DI CLIFFORD.


§ 1. Le parallele d'Euclide sono rette che posseggono i seguenti requisiti:

a) appartenere ad un piano,

b) non avere punti in comune,

c) essere equidistanti.

Lasciando cadere il requisito c) e seguendo le vedute di Gauss, Lobacefski, Bolyai si ottiene una prima estensione del concetto di parallelismo, ma le parallele che ad essa rispondono hanno pochissime proprietà in comune con le parallele ordinarie. Ciò si deve al fatto che le più eleganti proprietà che s'incontrano studiando queste ultime dipendono sostanzialmente dal requisito c). Si può quindi cercare di estendere il concetto di parallelismo, in modo da conservare, ove sia possibile, alle nuove parallele i caratteri che dipendono dalla equidistanza euclidea. Perciò, seguendo W. K. CLIFFORD [1845-1879], lasciamo cadere, nella definizione di parallele, il requisito della coplanarità, fermi restando gli altri due. La nuova definizione di parallele sarà dunque la seguente: due rette, coplanari o sghembe, si dicono parallele quando i punti dell'una sono equidistanti dall'altra.


§ 2. Si presentano allora due casi, a seconda che sifatte parallele appartengano o no allo stesso piano. [vedi figura 64.png]