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Giovanni Giuseppe Nicosia — Cinesi, scuola e matematica — Bologna, Italia — 2010

Tutte, però, portano ad almeno una colonna la cui somma non è 15. Ecco che resta da praticare solo l’opzione con 1 e 9 in una riga o colonna centrali. Qui i completamenti sono più semplici e portano a quadrati non magici solo in due casi:

8	1	6
3	5	7
4	9	2

←

8	1	6
	5
4	9	2

←

	1
	5
	9

→

6	1	8
	5
2	9	4

→

6	1	8
3	5	7
2	9	4

$\downarrow \;$

$\downarrow \;$

8	1	6
7	5	3
4	9	2

6	1	8
7	5	3
2	9	4

Ruotando i quadrati così ottenuti o considerando i loro simmetrici rispetto alle righe od alle colonne centrali si ottengono altri quadrati magici. Lato dispari in generale Cerchiamo ora di generalizzare ad un lato n ≥ 3 naturale dispari qualsiasi. Intanto sappiamo calcolare la costante magica $M={\frac {n3+n}{2}}$. Valgono poi i seguenti due:

Teoremi:

10) l’elemento centrale di un quadrato magico normale di lato n naturale dispari è uguale al numero centrale della successione dei numeri naturali da 1 ad n², cioè $A_{\frac {nn}{22}}={\frac {n2+1}{2}}$;

11) 1 ed n² compaiono sempre in caselle esterne simmetriche rispetto alla casella centrale.

Nel quadrato del fiume Luò ad esempio si ha al centro $5={\frac {32+1}{2}}$ ed 1 e 9 sono agli antipodi nella colonna centrale.

Lato dispari – metodo siamese

Questo metodo si chiama così perche venne importato in Europa dal regno del Siam alla fine del XVI secolo da un diplomatico.

Algoritimcamente si può rendere cosi:

I) metti 1 nella casella centrale della prima riga;

II) se hai piazzato il numero t in una casella, piazza il numero t+1 nella casella che trovi spostandoti

in diagonale in alto a destra;

III) se una mossa ti porta fuori, vai alla casella della stessa riga o colonna dal lato opposto come se

sbucassi dall’altra parte;

IV) se muovendo da una casella andresti su di una casella piena, torna indietro e scendi di una casella.

Esempio di lato 3: