Pagina:Cinesi, scuola e matematica.pdf/42

Giovanni Giuseppe Nicosia — Cinesi, scuola e matematica — Bologna, Italia — 2010

suggeriscono un procedimento di dimostrazione che possiamo interpretare con simboli e linguaggio contemporaneo come segue:

1. il triangolo rettangolo di cateti a e b viene inserito in un quadrato come nella figura seguente, rielaborazione di quella originale; la costruzione, ragionando più “alla greca” che “alla cinese”, si può ottenere con riga e compasso mandando le rette opportune (perpendicolari o parallele) per i vertici; nella figura la quadrettatura serve solo d’aiuto alla lettura e si riferisce ad un caso particolare;

1. il quadrato esterno ha quindi lato l=a+b ed area $Q=l2=(a+b)2=a2+ab+b2;$;
2. i quattro triangoli più esterni (evidenziati in grigio) hanno tutti area $T={\frac {ab}{2}}$, dunque insieme coprono una superficie pari a: $4\times T=4{\frac {ab}{2}}=2ab$;
3. il quadrato interno (quello rimasto chiaro che ha i vertici sui lati del quadrato esterno) ha per area la differenza delle due calcolate: $K=Q-(4\times T)=a2+2ab+b2=a2+b2\,\!$; il suo lato è quindi $k={\sqrt {K}}={\sqrt {a2+b2}}$;
4. questa è anche l’ipotenusa del triangolo rettangolo di partenza, che quindi ha lati a, b e .

Nei Nove capitoli dell’arte matematica (九章算术 Jiǔzhāng suànshù), un classico più tardo, lo si applica nei seguenti tre problemi:

1. Se il cateto minore è 3 chǐ (尺, 1 chǐ vale circa 33 cm) e quello maggiore 4 chǐ, quant’è l’ipotenusa? Risposta: 5 chǐ.
2. Se l’ipotenusa è 5 chǐ e il cateto minore 3 chǐ quant’è il cateto maggiore? Risposta 4 chǐ.
3. Se il cateto maggiore è 4 chǐ e l’ipotenusa 5 chǐ, quant’è il cateto minore? Risposta: 3 chǐ.

Il testo illustra poi il metodo generale:

“Moltiplica i cateti per loro stessi, sommali e poi estraine la radice quadrata: ecco l’ipotenusa. Ovvero moltiplica il cateto maggiore per se stesso e sottrai il risultato dal prodotto dell’ipotenusa per se stessa; estrai poi la radice quadrata della differenza: ecco il cateto minore. Ovvero moltiplica il cateto minore per se stesso; estrai poi la radice quadrata della differenza: ecco il cateto maggiore.