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Giovanni Giuseppe Nicosia — Cinesi, scuola e matematica — Bologna, Italia — 2010 |
Tesi III: due interi v e z che siano congruenti tra loro modulo tutti gli ni sono congruenti tra loro anche modulo . Se gli interi non sono coprimi a due a due il teorema vale con un’ipotesi in più:
Ipotesi: Siano n1, n2,…, nk degli interi positivi, di massimo comun divisore D e minimo comune multiplo M e a1, a2,…, ak altrettanti interi tali che ciascuno di loro sia congruente con tutti gli altri modulo D (cioè
allora
Tesi I': esiste un intero x tale che:
.
Tesi II': due interi b e c che soddisfano quanto affermato per x nella I Tesi sono congruenti tra loro modulo M (in formule: ).
Tesi III': due interi v e z che siano congruenti tra loro modulo tutti gli ni sono congruenti tra loro anche modulo M .
Il teorema si può estendere agli ideali principali in anelli commutativi ed è usato nel calcolo di numeri primi molto grandi che a loro volta trovano notevoli applicazioni tecnologiche in crittografia.
- Scheda
- Due problemi del Manuale di calcolo di Sunzǐ (孙子算经 Sunzǐ suanjing)
I) Oltre il cancello di una città vedi 9 aiuole, in ogni aiuola 9 alberi, in ogni albero 9 rami, in ogni ramo 9 nidi, in ogni nido 9 uccelli ed ogni uccello ha 9 pulcini, ogni pulcino 9 piume ed ogni piuma 9 colori. Quanti esemplari di ogni cosa vedi?
Soluzione: dati i numeri alti che si raggiungono presto non e conveniente tracciare un diagramma ad albero. Per ogni tipo di oggetto occorre di moltiplicare per 9 gli oggetti del tipo precedente.
1 aiuole 9
2 alberi 81
3 rami 729
4 nidi 6.561
5 uccelli 59.049
6 pulcini 531.441
7 piume 4.782.969
8 colori 43.046.721
Se si fosse interessati solo ad un genere e non si volessero calcolare tutti i precedenti basta elevare 9 al numero d’ordine del genere in questione nella tabella precedente: ni = 9i Problemi analoghi compaiono nella tradizione europea nel X secolo.