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Codifica numerica del segnale audio

Dall’espressione del minimo dell’MSE, per un predatore del primo ordine si ricava

$e^{(1)}=R(0)-\alpha _{1}^{(1)}R(1)=R(0)\left\{1-\left[\alpha _{1}^{(1)}\right]^{2}\right\}$

(C.38)

Considerando poi il problema di calcolare i coefficienti di un predittore di ordine m in funzione dei coefficienti di un predittore di ordine (m-1) è necessario poter risolvere il sistema

$\alpha ^{(m)}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}^{(m)}\\\alpha _{2}^{(m)}\\\ldots \\\alpha _{m}^{(m)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha ^{(m-1)}\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\delta ^{(m-1)}\\\hline \\k^{(m)}\end{bmatrix}}$

(C.39)

con δ^(m-1) e k^(m) da determinare. In tal modo si ottiene l’equazione aumentata del predittore

${\begin{bmatrix}{\begin{array}{c|c}R^{(m-1)}&r_{b}^{(m-1)}\\\hline r_{b}^{(m-1)}&R(0)\end{array}}\end{bmatrix}}\left\{{\begin{bmatrix}\alpha ^{(m-1)}\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\delta ^{(m-1)}\\\hline \\k^{(m)}\end{bmatrix}}\right\}={\begin{bmatrix}r^{(m-1)}\\R(m)\end{bmatrix}}$

(C.40)

dove r_b^(m-1) rappresenta il vettore di cross-correlazione al passo m-1 r^(m-1) con gli elementi in ordine invertito. Da questa relazione matriciale derivano le due relazioni

$R^{(m-1)}\alpha ^{(m-1)}+R^{(m-1)}\delta ^{(m-1)}+r^{(m)}r_{b}^{(m-1)}=r^{(m-1)}$

$r_{b}^{(m-1)^{T}}\alpha ^{(m-1)}+r_{b}^{(m-1)^{T}}\delta ^{(m-1)}+k^{(m)}R(0)=R(m)$

(C.41)

Per l’equazione del predittore di ordine (m-1)

$R^{(m-1)}\alpha ^{(m-1)}=r^{(m-1)}$

(C.42)

dalla prima equazione si ottiene

$\delta ^{(m-1)}=-k^{(m)}R^{(m-1)^{-1}}r_{b}^{(m-1)}$

$\delta ^{(m-1)}=-k^{(m)}\alpha _{b}^{(m-1)}$

(C.43)