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162 capitolo iv

anche delle varietà di elementi, nelle quali vengano soddisfatte soltanto in parte le proprietà che esprimono la traduzione dei postulati geometrici.

Si dà origine così ad una serie di spazii astratti, nei quali valgono Geometrie diverse, costruite tuttavia sopra un fondamento comune.

Ad es. si concepisce una serie di spazii non-euclidei, ove il postulato delle parallele non si trovi soddisfatto; e questa serie, dipendente dal valore di una certa costante, impropriamente detta curvatura, viene a cadere sotto il concetto di uno spazio, più generale dell’ordinario.

Per una ulteriore generalizazzione, si può abbracciare in codesto concetto la serie degli spazii a più dimensioni, o ancora altre varietà più lontane dallo spazio fisico.

Non si deve imporre alcun limite a questo processo di generalizzazione, dipendente soltanto da una convenzione, che il matematico giudica utile di stabilire nell’interesse dei suoi studii.

La teoria degli spazii astratti è veramente una parte essenziale dell’edificio geometrico, elevato nel secolo scorso!

Lasciando di considerare ciò che essa ci ha appreso, nel campo della Analisi matematica, fermiamoci piuttosto a vedere quale interesse possa avere pel filosofo.

L’interesse è duplice, sia per quanto si riferisce alla questione dello spazio fisico, sia per quel che concerne l’origine e lo sviluppo delle nostre conoscenze geometriche.


§ 9. Cenni storici intorno alla costituzione della Geometria non-euclidea.

Dall’epoca d’Euclide, fino ai principii del secolo scorso, era universalmente ammesso che noi possediamo nel concetto dello spazio, quale esso risulta definito dagli assiomi e dai postulati della Geometria greca, una rappresentazione rigorosamente esatta dei rapporti fisici di posizione.

Dubitare di tale esattezza doveva apparire follia agli occhi di ognuno, finchè la rappresentazione suaccennata veniva pensata come unica possibile. Onde non è temerario supporre che il più possente genio non sarebbe mai pervenuto ad una critica così ardita, se non vi fosse stato condotto da un difetto nella costruzione logica della Geometria euclidea.

Poichè si credeva allora che le proposizioni fondamentali della Geometria avessero il carattere di assiomi necessarii come gli assiomi logici e di natura non diversa, mal ci si voleva rassegnare ad aggiungere a questi la proposizione, in qualche modo meno evidente, che costituisce il V postulato di Euclide sulle parallele.

Giova ricordare a questo punto che cosa richieda quel postulato, e quale sia il contenuto delle premesse cui si appoggia la Geometria euclidea.