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la geometria 163


Nel concetto di Euclide, la Geometria riposa su definizioni, nozioni comuni e postulati. Questi ultimi, chiedendo la possibilità di certe costruzioni elementari, hanno lo scopo di affermare l’esistenza degli enti fondamentali della Geometria, conformemente all’ufficio che i greci attribuivano appunto alla costruzione geometrica (Zeuthen).

Ma veramente altre ipotesi, nettamente distinte dagli assiomi logici, sono contenute in modo implicito tanto nelle definizioni, che nelle nozioni comuni dell’Euclide. E la critica moderna, assumendo i fondamentali concetti geometrici come non definiti, le enuncia egualmente sotto il nome di postulati (cap. III).

Esistono varii modi di enunciare ed ordinare le premesse occorrenti alla Geometria euclidea1. Ci sia concesso di riferirci alla disposizione che informa la nostra raccolta di «Questioni riguardanti la Geometria elementare»2, attuata, in armonia coi nostri criterii pedagogici, negli «Elementi di Geometria»3 da noi redatti insieme ad U. Amaldi, perchè ivi appunto viene messo appositamente in luce tutto ciò che precede l’ipotesi sulle parallele.

Annoveriamo dunque le premesse che concernono:

1) I postulati relativi alla determinazione di rette e piani e alla loro mutua appartenenza;
2) le proprietà fondamentali della linea retta, come sistema di punti (ordini naturali, segmenti ecc.)4;
3) le proprietà della superficie piana rispetto alle sue rette (divisione in parti, angoli);
4) la divisione in parti dello spazio rispetto ad un piano;
5) la possibilità dei movimenti, cioè i principii della congruenza delle figure (da cui seguono i teoremi sui triangoli congruenti o uguali ecc.).
6) il postulato delle paralelle (post. V di Euclide):

Se due rette, in un piano, sono tagliate da una terza per modo che la somma degli angoli coniugati formati con questa da una medesima parte sia minore di due angoli retti, le due rette prolungate s’incontreranno dalla parte suddetta.

A questo postulato (che si può anche sostituire con l’affermazione della unicità della parallela per un punto ad una retta data ecc.) si riferiscono in-

  1. Cfr. il nostro articolo sui Principii citato a pag. 117.
  2. Bologna, Zanichelli, 1900.
  3. Bologna, Zanichelli, 1903; 2ª ed., 1905.
  4. Tra queste proprietà si trova la continuità della retta. Questa non compare in Euclide, dove trovasi surrogata in qualche punto da proposizioni particolari che ne dipendono. Si confronti l’art. IV di G. Vitali nei collectanea di F. Enriques «Questioni....», op. cit.