Pagina:Enriques - Problemi della scienza, 1906.djvu/206

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188 capitolo iv

di cui già abbiamo discorso. In questo ultimo stadio l’interesse fisico della questione dello spazio prevale sui criterii logici di ordinamento. Comunque, l’indirizzo elementare suddetto è caratterizzato dalla mancanza di un analisi tendente a separare i concetti geometrici; tutti i concetti fondamentali (di retta, piano, congruenza ecc.) sono considerati l’uno accanto all’altro, e si cerca soltanto di rendere semplici le proporzioni (postulati) che ne esprimono i primi rapporti, e di lumeggiarne le mutue dipendenze.

La separazione e la critica più profonda dei concetti fondamentali della Geometria, caratterizza invece lo stadio di ricerche che prende origine da B. Riemann, il più alto filosofo della Geometria. Qui, per la diretta influenza esercitata da Herbart sul suo discepolo, entra in campo, come interesse direttivo anche il criterio psicologico. D’altronde i rapporti dei concetti geometrici vengono quind’innanzi studiati col sussidio delle Matematiche superiori.

L’indirizzo iniziato da Riemann, cui si riattacca dappresso Helmholtz, è l’indirizzo metrico, nel quale tutta la Geometria viene fondata sulla base della nozione di distanza o di lunghezza di una linea, entro una varietà continua. Questi studii si riattaccano, per una parte allo sviluppo della Geometria differenziale, fondata da Gauss, e per l’altra alla teoria dei gruppi di trasformazioni, come è stato posto in luce più tardi da F. Klein, S. Lie, H. Poincarè.

D’altronde la fondazione della Geometria proiettiva, e l’assetto indipendente dalle nozioni metriche datole come si è detto da Staudt, inducevano il Klein ad inaugurare un nuovo indirizzo (proiettivo) d’investigazione dei principii, dove si assumano come fondamentali le nozioni (grafiche e ottiche) della retta e del piano.

I legami fra i due ordini di concetti grafici e metrici occuparono quind’innanzi molti ricercatori, mentre altri si dettero ad investigare per più vie i rapporti intrinseci delle Geometrie metriche o della proiettiva, legando queste indagini ad alti ed interessanti problemi matematici.

Ma la Geometria proiettiva e la metrica, hanno un sostrato qualitativo comune, nell’insieme dei rapporti, inerenti ai concetti più generali di linea e di superficie, che caratterizzano una varietà continua a più dimensioni. Questi concetti, senza alcun intervento delle idee di retta, piano, congruenza ecc., danno luogo già ad un ramo della Geometria, detto teoria dell’estensione o del continuo o Analysis situs, che tuttavia non è stato sviluppato molto innanzi, con metodo puro.

Ne consegue l’opportunità di una critica volta a questi sommi principii di ogni Geometria, la quale può riattacarsi per una parte ad alcune vedute appena accennate dal Riemann, e per l’altra a taluni studii di Dedekind, Weierstrass, Cantor, ecc.; i problemi che così prendono origine furono