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la geometria 193


le varie rappresentazioni genetiche di una stessa linea o di linee diverse;
le rappresentazioni genetiche suddette alle rappresentazioni attuali, riunendo in particolare in una unica nozione astratta le due serie di immagini del punto come elemento generatore, e come termine della linea stessa.

Altre proprietà delle linee, riattaccantisi alla nozione della superficie scaturiscono dal confronto delle loro immagini attuali; ma esse concernono le loro relazioni esterne, mentre il concetto della linea, riguardata internamente, resta ormai fissato secondo il procedimento costruttivo descritto.


§ 24. Postulati del continuo a due e a tre dimensioni.

Il concetto generale della superficie come varietà a due dimensioni, deriva geneticamente, secondo B. Riemann1, dal movimento di una linea.

Interpretata nel modo più largo, questa generazione conduce a prendere come dati sopra una superficie due fasci di linee unisecantisi, le generatrici e le direttrici o traiettorie descritte dai punti della linea mobile.

Se allora si suppone posta su queste linee una determinazione metrica, data cioè la nozione di lunghezza lineare, si riesce a rappresentare i punti della superficie con un sistema di coordinate, ossia a stabilire una corrispondenza biunivoca continua fra i punti della superficie e gli elementi (coppie di numeri) di una varietà numerica a due dimensioni.

Non volendo postulare fin da principio la determinazione metrica sopra le linee suddette, l’introduzione delle coordinate non riesce più possibile in base ai soli dati che figurano nella generazione di Riemann. Perciò questa viene considerata come una definizione insufficiente della varietà a due dimensioni, e S. Lie vi aggiunge esplicitamente l’ipotesi della rappresentabilità sopra una varietà numerica.

Allo scopo di dilucidare questo punto fondamentale per una pura teoria del continuo, noi abbiamo istituito una ricerca2 di cui ecco il resultato: Si possono introdurre le coordinate sopra una superficie, tostochè sieno dati sopra di essa almeno tre fasci di linee a due a due unisecantisi; per il che basta, in sostanza ammettere due diverse generazioni della superficie stessa col movimento di una sua linea mobile.

Questo teorema risponde non soltanto alla questione matematica di definire il continuo a due dimensioni3, ma anche alla questione psicologica di spiegare i postulati che vi si riferiscono secondo l’ordinaria intuizione. Infatti tali postulati, contenuti nella ipotesi della rappresentazione numerica,

  1. Habiliatationsschrift, Göttingen, 1854. (Göttinger Abhandlungen XIII, 1868).
  2. Enriques — Circolo Matematico di Palermo, t. XII, 1898.
  3. Cfr. il nostro Art. citato a pag. 117.
Enriques, Problemi 13