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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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Si verifica subito che:

“Le due immagini di Clifford di due rette polari relative a un piano e le traccie su questo piano delle rette stesse si dividono armonicamente; una di queste traccie divide per metà un segmento terminato alle immagini„.

§ 5. Sarà per noi ancora opportuno di notare che i parametri di scorrimenti di una retta, anche moltiplicati per un qualunque fattore, soddisfanno alla:

$B^{2}+C^{2}+D^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2}=0.$

Dunque noi potremo sempre immaginare 6 quantità legate da questa relazione come coordinate omogenee di retta, in quanto che si può fissare a meno del segno un fattore di proporzionalità (in un modo solo) in tal guisa che esse divengano i 6 parametri di scorrimento di una retta. La forma delle $B,C,D,\beta ,\gamma ,\delta$ ci dà il seguente teorema:

“I parametri di scorrimento (invarianti per parallelismo) di una retta non sono altro che le coordinate di Klein (somme e differenze opportune delle coordinate di Plücker) della retta stessa, quando si prenda per tetraedro fondamentale un tetraedro autopolare rispetto all’assoluto.„

Questo teorema può venire utile per lo studio dei complessi algebrici di rette negli spazii ellittici; e noi ne daremo più tardi un esempio.

§. 6. Una prima notevolissima applicazione di queste coordinate è la definizione di angolo di due rette qualsiasi (ciò che finora non s’era fatto che per rette complanari). Noi chiameremo angolo $\varphi$ di due rette tanto l’angolo $\varphi$ definito da

$\cos \varphi =BB'+CC'+DD',$

quanto l’angolo $\varphi$ generalmente distinto dal precedente, che riesce definito dalla

$\cos \varphi =\beta \beta '+\gamma \gamma '+\delta \delta ',$