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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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a seconda che l’angolo si misura con parallele in un senso o nell’altro cioè per le identità (8) si ha

$\cos \varphi =\cos {\widehat {xy}}\cos {\widehat {\xi \eta }}-\cos {\widehat {\xi y}}\cos {\widehat {x\eta }}\pm (x\xi y\eta )$

dove con ${\widehat {xy}},{\widehat {\xi \eta }},{\widehat {\xi y}},{\widehat {x\eta }}$ intendiamo la distanza del punto $(x_{i})$ al punto $(y_{i})$, dal punto $(\xi _{i})$ al punto $(\eta _{i})$ ecc. Senza soffermarci al significato geometrico di $(x\xi y\eta )$ si osservi che:

“Il determinante $(x\xi y\eta )$ è nullo e l’angolo di due rette ammette una sola determinazione allora e allora soltanto che le due rette sono complanari„. (Cfr. le osserv. finali).

Questo teorema ammette un notevole corollario, quando sia applicato a rette infinitamente vicine complanari:

“Se noi delle generatrici di una rigata facciamo le immagini di Clifford relative a un piano qualunque, le due linee così ottenute si corrisponderanno in modo che archi corrispondenti siano uguali allora e allora soltanto che la rigata è sviluppabile„.

E se ricordiamo (Bianchi A) che una rigata è a curvatura nulla solo se è una rigata di Clifford, vediamo che a questo teorema si contrappone l’altro:

“Una rigata è a curvatura nulla soltanto se una delle sue immagini di Clifford si riduce a un punto„.

E noi vediamo subito un nuovo significato delle coordinate di Klein; esse misurano gli angoli, che in un verso e nell’altro una retta forma coi sei spigoli del tetraedro di riferimento o, come si può dire, con una terna di rette ortogonali.

Così, essendo i parametri di scorrimento nient’altro che coordinate proiettive di una retta, e potendosi perciò definire un complesso lineare con un’equazione

$lA+mB+nC=p\alpha +q\beta +r\gamma$

dove $l,m,n,p,q,r$ sono costanti, noi vediamo per le (12) che un complesso lineare ammette in uno spazio ellittico la seguente definizione metrica: