Pagina:Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici.djvu/26

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20 G. Fubini


che vale anche per le parallele nell’altro senso, perchè (§. 3) mancano termini col doppio segno; ciò che si spiega osservando che tangenti consecutive sono complanari e ricordando il teor. del §. 6. Dunque:

Il rapporto di uno qualunque degli angoli formati da due tangenti consecutive all’arco compreso tra i punti di contatto è uguale alla curvatura della curva nel punto corrispondente.

Consideriamo ora invece una retta generica normale nel punto alla curva e ne siano i coseni di direzione, dove è costante; l’immagine di Clifford della rigata formata da esse, ha l’arco definito dalla: , cioè, differenziando e ricordando le formule del prof. Bianchi dalla:

Dove, per le più volte citate identità e considerazioni del §. 3, il doppio segno si deve al doppio senso del parallelismo.

Per si ha ; noi porremo

,

ritenendo però che spesso indicheremo con tutte e due queste espressioni, e chiameremo e le due torsioni di Clifford di una curva in un punto. Abbiamo allora:

Il rapporto dell’angolo di due binormali consecutive misurato in un senso determinato all’arco compreso tra i loro piedi è uguale alla torsione di Clifford corrispondente„. Donde si ha, sotto una forma lievemente differente, un teorema del prof. Bianchi (loc. cit.) che qui risulta dedotto in maniera diretta: