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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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Si sviluppi con le solite identità, lasciando i determinanti con due linee uguali; avremo

$ds'_{2}=\sum dx^{1}+\sum d\xi ^{2}\pm 2{\begin{vmatrix}dx_{1}&dx_{2}&dx_{3}&dx_{4}\\\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}&\xi _{4}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\d\xi _{1}&d\xi _{2}&d\xi _{3}&d\xi _{4}\end{vmatrix}}$

dove è facile verificare che il doppio segno è dovuto al doppio senso del parallelismo. Ora è (Bianchi, loc. cit.).

${\frac {\partial \xi _{i}}{\partial u}}={\frac {FD'-GD}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial u}}+{\frac {FD-ED'}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial v}}$

${\frac {\partial \xi _{i}}{\partial v}}={\frac {FD''-GD}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial u}}+{\frac {FD'-ED''}{EG-F^{2}}}{\frac {\partial x_{i}}{\partial v}}.$

Usando di queste formule e ricordando che

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial u}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial x_{4}}{\partial u}}\\{\frac {\partial x_{1}}{\partial v}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial x_{4}}{\partial v}}\\x_{1}&\cdots &\cdots &x_{4}\\\xi _{1}&\cdots &\cdots &\xi _{4}\end{vmatrix}}=EG-F^{2}$

si ottiene che

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial u}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial x_{4}}{\partial u}}\\x_{1}&\cdots &\cdots &x_{4}\\\xi _{1}&\cdots &\cdots &\xi _{4}\\{\frac {\partial \xi _{1}}{\partial u}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial \xi _{4}}{\partial u}}\end{vmatrix}}=\pm {\frac {FD-ED'}{\sqrt {EG-F^{2}}}}$