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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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Si sviluppi con le solite identità, lasciando i determinanti con due linee uguali; avremo

$d s'_{2} = \sum d x^{1} + \sum d ξ^{2} \pm 2 | \begin{matrix} d x_{1} & d x_{2} & d x_{3} & d x_{4} \\ ξ_{1} & ξ_{2} & ξ_{3} & ξ_{4} \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ d ξ_{1} & d ξ_{2} & d ξ_{3} & d ξ_{4} \end{matrix} |$

dove è facile verificare che il doppio segno è dovuto al doppio senso del parallelismo. Ora è (Bianchi, loc. cit.).

$\frac{\partial ξ_{i}}{\partial u} = \frac{F D^{'} - G D}{E G - F^{2}} \frac{\partial x_{i}}{\partial u} + \frac{F D - E D^{'}}{E G - F^{2}} \frac{\partial x_{i}}{\partial v}$

$\frac{\partial ξ_{i}}{\partial v} = \frac{F D^{″} - G D}{E G - F^{2}} \frac{\partial x_{i}}{\partial u} + \frac{F D^{'} - E D^{″}}{E G - F^{2}} \frac{\partial x_{i}}{\partial v} .$

Usando di queste formule e ricordando che

$| \begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial u} & \dots & \dots & \frac{\partial x_{4}}{\partial u} \\ \frac{\partial x_{1}}{\partial v} & \dots & \dots & \frac{\partial x_{4}}{\partial v} \\ x_{1} & \dots & \dots & x_{4} \\ ξ_{1} & \dots & \dots & ξ_{4} \end{matrix} | = E G - F^{2}$

si ottiene che

$| \begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial u} & \dots & \dots & \frac{\partial x_{4}}{\partial u} \\ x_{1} & \dots & \dots & x_{4} \\ ξ_{1} & \dots & \dots & ξ_{4} \\ \frac{\partial ξ_{1}}{\partial u} & \dots & \dots & \frac{\partial ξ_{4}}{\partial u} \end{matrix} | = \pm \frac{F D - E D^{'}}{\sqrt{E G - F^{2}}}$