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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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Viceversa sia data una superficie $S$ dello spazio ellittico per cui $w_2-w_1=cost$, cioè una congruenza normale pseudosferica e si conoscano le linee bisettrici delle immagini piane delle sviluppabili. Si avrà allora un sistema ortogonale di linee tale che il doppio sistema delle sue traiettorie isogonali sotto un certo angolo dividono la sfera in parallelogrammi infinitesimi equivalenti. Con quadrature si ottiene (Bianchi loc. cit., §. 33) un sistema ciclico ortogonale alla sfera tale che gli assi dei suoi circoli formano una congruenza di Ribaucour a generatrice pseudosferica; donde si deduce una superficie pseudosferica e una sua deformazione infinitamente piccola e quindi una congruenza pseudosferica.

Così da una congruenza pseudosferica normale dello spazio curvo, cioè da una superficie dello spazio curvo, per cui sia

$w_1-w_2=cost.$

si deducono due congruenze pseudosferiche dello spazio euclideo e quindi una tetrade di superficie pseudosferiche dello spazio stesso, appena si conoscano le linee bisettrici delle immagini piane delle sviluppabili.

§. 22. Il quadro delle formule del §. 15 ci dà infine un’altra conseguenza.

Sia

$d{s}^2=H_1^{2}d{\rho }_1^2+H_2^{2}d{\rho }_2^2+H_3^{2}d{\rho }_3^2$

l’elemento lineare dello spazio curvo riferito a un sistema triplo ortogonale e indichiamo con $(X_1,X_2,X_3)$ $(Y_1{Y}_2{Y}_3)$ $(Z_1{Z}_2{Z}_3)$ i parametri di scorrimento delle normali rispettivamente alle ${\rho }_1-cost.$, alle ${\rho }_2-cost.$, alle ${\rho }_3-cost.$ Avremo subito per il quadro di formule suddetto

$\begin{array}{c}\frac{\partial X_k}{\partial {\rho }_k}=-\frac{1}{H_i}\frac{\partial H_k}{\partial {\rho }_i}{X}_i-\frac{1}{H_k}\frac{\partial H_k}{\partial {\rho }_l}{X}_i\\ \frac{\partial X_k}{\partial {\rho }_i}=\frac{1}{H_k}\frac{\partial H_i}{\partial {\rho }_k}{X}_i\pm H_i{X}_l\\ \frac{\partial X_k}{\partial {\rho }_l}=\frac{1}{H_k}\frac{\partial H_l}{\partial {\rho }_k}{X}_l\mp H_l{X}_i\end{array}\}(i\ne k\ne l).$