Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/337

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, , sono in linea retta. Questa proprietà offre una semplice regola per costruire il punto , quando siano dati .

Ed in modo somigliante si risolve l'analogo problema rispetto a due fasci di quattro rette.

4. Quattro punti in linea retta diconsi armonici quando sia:

,


epperò anche:

.


I punti e così pure diconsi coniugati fra loro1.

Se il punto si allontana a distanza infinita, il rapporto ha per limite ; quindi dall'equazione si ha , ossia è il punto di mezzo del segmento .

La relazione armonica , ossia


mostra che uno de' punti , per esempio , è situato fra e , mentre l'altro punto è fuori del segmento finito . Laonde, se coincide con , anche coincide con essi. E dalla stessa relazione segue che, se coincide con , anche coincide con .

La relazione armonica individua uno de' quattro punti, quando sian dati gli altri tre. Ma se questi sono coincidenti, il quarto riesce indeterminato.

Analogamente: quattro rette , concorrenti in un punto, diconsi armoniche quando si abbia:

,


cioè quando esse siano incontrate da una trasversale qualunque in quattro punti armonici.

Fig. 4

5. Sia dato (fig. 4.a) un quadrilatero completo, ossia il sistema di quattro rette segantisi

  1. Il punto dicesi coniugato armonico di rispetto ai due , ecc.