Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/338

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a due a due in sei punti , . Le tre diagonali formano un triangolo . Sia il punto coniugato armonico di rispetto a e sia il coniugato armonico di rispetto a . La retta coniugata armonica di rispetto alle ed anche la retta coniugata armonica di rispetto alle dovranno passare per e per . Dunque questi punti coincidono insieme con , punto comune alle . Donde segue che ciascuna diagonale è divisa armonicamente dalle altre due.

Di qui una semplice regola per costruire uno de' quattro punti armonici , quando siano dati gli altri tre.

Una somigliante proprietà appartiene al quadrangolo completo (sistema di quattro punti situati a due a due in sei rette) e dà luogo alla costruzione di un fascio armonico di quattro rette.

6. Quattro punti in linea retta, riferiti ad un punto della retta medesima, siano rappresentati dall'equazione di quarto grado:

2)
,


cioè siano le radici dell'equazione medesima.

Se il rapporto anarmonico è eguale a , si avrà:

,


ovvero, sostituendo ai segmenti le differenze ed avendo riguardo alle note relazioni fra i coefficienti e le radici di un'equazione:

.


Analogamente: le equazioni danno:

,

.


Moltiplicando fra loro queste tre equazioni si otterrà la condizione necessaria e sufficiente, affinchè uno de' tre sistemi , , sia armonico. Il risultato è simmetrico rispetto ai segmenti , epperò si potrà esprimere coi soli coefficienti dell'equazione 2). Si ottiene così:


come condizione perchè i punti rappresentati dalla data equazione 2), presi in alcuno degli ordini possibili, formino un sistema armonico1.

  1. Salmon, Lessons introductory to the modern higher algebra, Dublin 1859, p. 100.