Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/342

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Che i punti comuni dovessero essere al più due si poteva prevedere anche da ciò che, se due punteggiate projettive hanno tre punti coincidenti coi rispettivi corrispondenti, esse sono identiche. Infatti, se , il punto coincide con .

Se sono i punti comuni di due punteggiate projettive sovrapposte, nelle quali siano due coppie di punti corrispondenti, si avrà l'eguaglianza de' rapporti anarmonici:

,


che si può scrivere così:

,


donde si ricava che il rapporto anarmonico è costante, qualunque sia la coppia .

10. Siano date due stelle projettive, aventi lo stesso centro. Segandole con una trasversale, otterremo in questa due punteggiate projettive: due punti corrispondenti sono le intersezioni della trasversale con due raggi corrispondenti delle due stelle. Siano i punti comuni delle due punteggiate. Siccome i punti della prima punteggiata coincidono coi loro corrispondenti della seconda, così anche i raggi della prima stella coincideranno rispettivamente coi raggi che ad essi corrispondono nella seconda stella. Dunque, due stelle projettive concentriche hanno due raggi comuni (reali, imaginari o coincidenti), cioè due raggi, ciascun de' quali è il corrispondente di sè stesso.


Art. III.

Teoria de' centri armonici.


11. Sopra una retta siano dati punti ed un polo . Sia poi un punto della retta medesima, tale che la somma dei prodotti degli rapporti , presi ad ad , sia nulla. Esprimendo questo somma il simbolo , il punto sarà determinato per mezzo della equazione:

1)
,


che per l'identità , può anche scriversi:

2)
,