Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/343

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ossia sviluppando:

3)


ove il simbolo esprime il numero delle combinazioni di cose prese ad ad .

L’equazione 3), del grado rispetto ad , dà posizioni pel punto : tali punti si chiameranno1 centri armonici, del grado , del dato sistema di punti rispetto al polo .

Quando , si ha un solo punto , che è stato considerato da Poncelet sotto il nome di centro delle medie armoniche2.

Se inoltre è , il punto diviene il coniugato armonico di rispetto ai due (4).3

12. Se l’equazione 1) si moltiplica per e si divide per , essa si muta evidentemente in quest’altra:

4)
,


donde si raccoglie:

Se è un centro armonico, del grado , del dato sistema di punti rispetto al polo , viceversa è un centro armonico, del grado , del medesimo sistema rispetto al polo .

13. Essendo gli punti che soddisfanno all’equazione 3), sia il loro centro armonico di primo grado rispetto al polo avremo l’equazione:


analoga alla 2), ossia sviluppando:

.


Ma, in virtù della 3), è:

,

  1. Jonquières, Mémoire sur la théorie des pôles et polaires etc. (Journal de M. Liouville, août 1857, p. 266).
  2. Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques (Giornale di Crelle, t. 3, Berlino 1828, p. 229).
  3. <Se , ossia se il dato sistema riducesi ad un punto unico, con questo coincide il centro armonico di 1.° grado di qualsivoglia polo.>