Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/346

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, del sistema rispetto al polo coincidono coi centri armonici, del grado , del sistema rispetto al polo .

Questo teorema, ripetuto successivamente, può essere esteso ai centri armonici di grado qualunque, e allora s'enuncia così:

Se sono i centri armonici, di grado , del sistema dato rispetto al polo , e se sono i centri armonici, di grado , dello stesso sistema dato rispetto ad un altro polo , i centri armonici, di grado , del sistema rispetto al polo coincidono coi centri armonici, di grado , del sistema , rispetto al polo .

15. Se e sono rispettivamente i centri armonici, di primo grado, dei sistemi ed , rispetto al polo , si avrà:

.


Se è il centro armonico, di primo grado, del sistema di punti rispetto al polo , il punto è anche il centro armonico, di primo grado, del sistema rispetto allo stesso polo.

16. Fin qui abbiamo tacitamente supposto che i dati punti fossero distinti, ciascuno dai restanti. Suppongasi ora che punti coincidano in un solo, che denoteremo con . Allora, se nella equazione 5) si assume in luogo dell'origine arbitraria , risulta evidentemente:

,


onde l'equazione 5) riesce divisibile per , cioè centri armonici del grado cadono in , e ciò qualunque sia il polo . Ne segue inoltre, avuto riguardo al teorema (13), che in cadono centri armonici di grado ; centri armonici di grado ed un centro armonico di grado .

17. L'equazione 3) moltiplicata per e per diviene:

6)



.