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Art. IV.

Teoria dell'involuzione.[44]


21. Data una retta, sia un punto fisso in essa, un punto variabile; inoltre siano quantità costanti ed una quantità variabile. Ora abbiasi un' equazione della forma:

1)

Ogni valore di valori di , cioè dà un gruppo di punti . Invece, se è dato uno di questi punti, sostituendo nella 1) il dato valore di , se ne dedurrà il corrispondente valore di , e quindi, per mezzo dell'equazione medesima, si otterranno gli altri valori di . Dunque, per ogni valore di , l'equazione 1) rappresenta un gruppo di punti così legati fra loro, che uno qualunque di essi determina tutti gli altri. Il sistema degli infiniti gruppi di punti, corrispondenti agli infiniti valori di , dicesi involuzione del grado .1 Una semplice punteggiata può considerarsi come un'involuzione di primo grado (§ 7). Un'involuzione è determinata da due gruppi. Infatti, se le equazioni:


rappresentano i due gruppi dati, ogni altro gruppo dell'involuzione sarà rappresentato dalla :


ove sia una quantità arbitraria.

22. Ogni qualvolta due punti a d'uno stesso gruppo coincidano in un solo, diremo che questo è un punto doppio dell'involuzione. Quanti punti doppi ha l'involuzione rappresentata dall' equazione 1) ? La condizione che quest' equazione abbia due radici eguali si esprime eguagliando a zero il discriminante della medesima. Questo discriminante è una funzione, del grado , de' coefficienti dell'equazione; dunque, egua-

  1. Jonquières, Généralisation de la théorie de l'involution (Annali di Matematica, tomo 2.°, Roma 1859, pag. 86).