Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/351

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gliandolo a zero, si avrà un'equazione del grado in . Ciò significa esservi gruppi, ciascuno de' quali contiene due punti coincidenti, ossia:

Un'involuzione del grado ha punti doppi.1

23. Siano gli punti costituenti un dato gruppo. Il centro armonico , di primo grado, di questi punti, rispetto ad un polo preso ad arbitrio sulla retta data, è determinato dall'equazione:

,


donde, avuto riguardo alla 1), si trae:

Quindi, il segmento compreso fra due punti , centri armonici di due gruppi diversi, si potrà esprimere così:

Siano ora i centri armonici (di primo grado e relativi al polo ) di quattro gruppi, corrispondenti a quattro valori di ; avremo:


questo risultato non si altera, se invece di si assuma un altro punto; cioè il rapporto anarmonico dei quattro centri è indipendente dal polo . Ne segue che la serie de' centri armonici (di primo grado) di tutt' i gruppi, rispetto ad un polo , e la serie de' centri armonici (dello stesso grado) de' gruppi medesimi, rispetto ad un altro polo , sono due punteggiate projettive.

Per rapporto anarmonico di quattro gruppi di un'involuzione, intenderemo il rapporto anarmonico de' loro centri armonici di primo grado, relativi ad un polo arbitrario.

  1. [Altra dimostrazione, ricorrendo ai § 23, 24] < I centri armonici di grado dei gruppi dell'involuzione, rispetto a due poli formano due nuove involuzioni di grado , projettive alla data, epperò projettive fra loro. Queste due nuove involuzioni hanno punti comuni, che sono i punti doppi della data >.