Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/353

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ove è un punto qualunque della retta, nella quale è data la seconda involuzione; è l'origine de' segmenti in questa retta; sono coefficienti costanti.

Supponiamo, com'è evidentemente lecito, che ai gruppi della prima involuzione corrispondano nella seconda i gruppi . Allora, affinchè le equazioni 1) e 3) rappresentino due gruppi corrispondenti, è necessario e sufficiente che il rapporto anarmonico dei quattro gruppi della prima involuzione sia eguale a quello de' gruppi della seconda, cioè dev'essere . Dunque la seconda involuzione, a cagione della sua projettività colla prima, si potò rappresentare così:

4)


Le equazioni 1) e 4), per uno stesso valore di , danno due gruppi corrispondenti delle due involuzioni projettive. Ed eliminando fra le equazioni medesime si avrà la relazione che esprime il legame o la corrispondenza dei punti .

(b) Se le due involuzioni sono in una stessa retta, i punti si possono riferire ad una sola e medesima origine: cioè al punto può sostituirsi . In questo caso, si può anche domandare quante volte il punto coincida con uno de' corrispondenti punti . Eliminato dalle 1), 4) e posto in luogo di , si ha la:

5)

,


equazione del grado rispetto ad . Dunque:

In una retta, nella quale sian date due involuzioni projettive, l'una di grado , l'altra di grado , esistono generalmente punti, ciascun de' quali considerato come appartenente alla prima involuzione, coincide con uno de' punti corrispondenti nella seconda.

Questi si chiameranno i punti comuni alle due involuzioni.

(c) Se l'equazione 1) contenesse nel suo primo membro il fattore , essa rappresenterebbe un'involuzione del grado , i cui gruppi avrebbero punti comuni, tutti riuniti in ; ossia rappresenterebbe sostanzialmente un'involuzione del grado , a ciascun gruppo della quale è aggiunto volte il punto . In tal caso è manifesto che anche il primo membro dell'equazione 5) sarà divisibile per ; cioè gli punti comuni alle due involuzioni proposte saranno costituiti dal punto preso volte e dagli punti comuni alla seconda involuzione (di grado ) ed a quella di grado , alla quale si riduce la prima, spogliandone i gruppi del punto .