Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/354

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Se inoltre i gruppi della seconda involuzione contenessero volte il punto , questo figurerebbe volte fra i punti comuni alle due involuzioni.

(d) Se un gruppo della prima involuzione (per es. quello che si ha ponendo ) contiene volte uno stesso punto , e se il corrispondente gruppo della seconda involuzione contiene volte lo stesso punto , ove sia , è evidente che l'equazione 5) conterrà nel primo membro il fattore , cioè il punto terrà il posto di punti comuni alle due involuzioni.

25. Merita speciale studio l'involuzione di secondo grado o quadratica, per la quale, fatto nella 1), si ha un'equazione della forma:

6)


Qui ciascun gruppo è composto di due soli punti, i quali diconsi coniugati; e chiamasi punto centrale quello, il cui coniugato è a distanza infinita1. Posta l'origine de' segmenti nel punto centrale ed inoltre assunto il gruppo, al quale esso appartiene, come corrispondente ad , dovrà essere . Pertanto, se sono due punti coniugati qualunque, l'equazione 6) dà:

cost.


Confrontando questa equazione con quella che esprime la projettività di due punteggiate (§ 9):

cost.


si vede che l'involuzione quadratica nasce da due punteggiate projettive, le quali vengano sovrapposte in modo da far coincidere i punti corrispondenti ai punti all'infinito. Altrimenti possiam dire che due punteggiate projettive sovrapposte formano un' involuzione (quadratica), quando un punto , considerato come appartenente all'una o all'altra punteggiata, ha per corrispondente un solo e medesimo punto .

Da tale proprietà si conclude che nell'involuzione quadratica, il rapporto anarmonico di quattro punti è eguale a quello de' loro coniugati.

(a) Siano i due punti doppi (§ 22) dell'involuzione, determinati dall'eguaglianza

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  1. |L'involuzione ha i punti doppi reali o no, secondo che il rapporto anarmonico è positivo o negativo.|