Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/356

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Assunto ad arbitrio nella retta data un punto , si determini un punto per modo che sia


Variando simultaneamente generano due punteggiate proiettive, nelle quali ai punti corrispondono ordinatamente . Se chiamansi i punti comuni di queste punteggiate, si avrà:


cioè il proposto problema è risoluto da ciascuno de' punti .

Ora siano i tre punti della retta data, che rendono armonici i tre sistemi , , ; i due sistemi , saranno projettivi, e siccome al punto , considerato come appartenente all' uno o all'altro sistema, corrisponde sempre , così le tre coppie sono in involuzione, cioè è un punto doppio dell'involuzione quadratica determinata dalle coppie . L'altro punto doppio della stessa involuzione è , poiché il segmento è diviso armonicamente dai punti . Dunque dividono armonicamente non solo , ma anche . Si ha perciò:


ossia i sistemi , sono projettivi: la qual cosa torna a dire che le coppie sono in involuzione.1 [45]

Da un punto preso ad arbitrio fuori della retta data imagininsi condotti i raggi e , i quali tutti si seghino con una trasversale parallela ad nei punti . Avremo:


onde la 7) diverrà:

8)


Essendo , si ha , cioè è il punto medio del segmento . Quindi, per le identità: , , la 8) diviene:

9)

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  1. Staudt, Geometrie der Lage, Nuernberg 1847, p. 121.