Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/357

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donde si ricava che è il punto medio del segmento , cioè si ha , epperò . Similmente si dimostra essere , ; vale a dire sono i punti doppi dell'involuzione .1

Il rapporto anarmonico è dato dall' equazione 7), ossia è una radice cubica imaginaria di . Per conseguenza, i quattro punti od non possono essere tutti reali. L'equazione 9) ha il secondo membro negativo o positivo, secondo che siano punti reali o imaginari coniugati. Dunque, se i tre punti dati sono tutti reali, i punti sono imaginari coniugati; ma se due de' tre punti dati sono imaginari coniugati, i punti sono reali.

L'equazione 8) poi mostra che, se , anche ; cioè, se due de' punti dati coincidono in un solo, in questo cadono riuniti anche i punti .

27. Chiameremo equianarmonico un sistema di quattro punti, i cui rapporti anarmonici fondamentali siano eguali, ossia un sistema di quattro punti aventi per rapporti anarmonici le radici cubiche imaginarie di .

Quattro punti in linea retta siano rappresentati (§ 6) dall'equazione:

10)


Se il sistema di questi quattro punti è equianarmonico, si avrà:


ovvero, sostituendo ai segmenti le differenze :



Sviluppando le operazioni indicate, quest' equazione si manifesta simmetrica rispetto ai quattro segmenti , onde si potrà esprimerla per mezzo dei soli coefficienti della 10). Ed invero, coll' aiuto delle note relazioni fra i coefficienti e le radici di un'equazione, si trova senza difficoltà:


come condizione necessaria e sufficiente affinchè i quattro punti rappresentati dalla 10) formino un sistema equianarmonico.2

  1. Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage, Nürnberg 1856-57-60, p. 178.
  2. Painvin, Équation des rapports anharmoniques etc. (Nouvelles Annales de Mathématiques, t. 19. Paris 1860, p. 412).