Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/359

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delle posizioni di un punto mobile è anche l'inviluppo delle rette congiungenti fra loro le successive posizioni del punto medesimo.

Nel punto di contatto la curva ha colla tangente due punti comuni (contatto bipunto); quindi le due linee avranno, in generale, altri punti d'intersecazione. Se due di questi punti coincidono in un solo , la retta sarà tangente alla curva anche in . In tal caso, la retta dicesi tangente doppia; e sono i due punti di contatto1.

Invece, se una delle intersezioni s'avvicina infinitamente ad , la retta avrà ivi un contatto tripunto colla curva. In tal caso, la retta dicesi tangente stazionaria, perchè, se indichiamo con i tre punti infinitamente vicini che costituiscono il contatto, essa rappresenta due tangenti successive ; e può anche dirsi ch'essa sia una tangente doppia, i cui punti di contatto sono infinitamente vicini. Ovvero: se la curva si suppone generata dal movimento di una retta, quando questa arriva nella posizione cessa di ruotare in un senso, si arresta e poi comincia a ruotare nel senso opposto. Il punto di contatto della curva colla tangente stazionaria chiamasi flesso, perchè ivi la retta tocca e sega la curva, onde questa passa dall'una all'altra banda della retta medesima.

30. Consideriamo ora una curva-inviluppo della classe . Se è una posizione della retta generatrice, cioè una tangente della curva, il punto ove è incontrata dalla tangente successiva, è il punto in cui la retta tocca la curva. Quindi la curva inviluppo di una retta mobile è anche il luogo del punto comune a due successive posizioni della retta stessa.

Per un punto qualunque si possono condurre, in generale, tangenti alla curva. Ma se si considera un punto della curva, due di quelle tangenti sono successive, cioè coincidono nella tangente . Quindi per a passeranno, inoltre, rette tangenti alla curva in altri punti.

Se due di queste tangenti coincidono in una sola retta , la curva ha in due tangenti , cioè passa due volte per , formando ivi un nodo; le rette e toccano in i due rami di curva che ivi s'incrociano. In questo caso, il punto dicesi punto doppio2.

Invece, se una delle tangenti coincide con , questa retta rappresenta tre

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  1. I due punti di contatto possono essere imaginari senza che la retta cessi d'essere reale e di possedere tutte le proprietà di una tangente doppia.
  2. Le due tangenti ponno essere imaginarie, epperò imaginari anche i due rami della curva, rimanendo reale il punto d'incrociamento . Questo è, in tal caso, un punto isolato, e può considerarsi come un'ovale infinitesima o evanescente.