Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/361

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Così, se un inviluppo della classe ha una tangente pla, esso è il sistema di punti situati sopra questa retta.

Una curva semplice dell'ordine non può avere, oltre ad un punto plo, anche un punto doppio, perchè la retta che unisce questi due punti avrebbe intersezioni comuni colla curva. Analogamente, una curva semplice della classe non può avere una tangente pla ed inoltre un'altra tangente doppia, perchè esse rappresenterebbero tangenti concorrenti nel punto comune alle medesime.


Art. VI.

Punti e tangenti comuni a due curve.


32. In quanti punti si segano due curve, gli ordini delle quali siano ? [46] Ammetto, come principio evidente, che il numero delle intersezioni dipenda unicamente dai numeri , talché rimanga invariato, sostituendo alle curve date altri luoghi dello stesso ordine. Se alla curva d'ordine si sostituiscono rette, queste incontrano la curva d'ordine in punti; dunque: due curve, i cui ordini siano , si segano in punti (reali, imaginari, distinti o coincidenti).

Si dirà che due curve hanno un contatto bipunto, tripunto, quadripunto, cinquipunto, sipunto, ... quando esse abbiano due, tre, quattro, cinque, sei, ... punti consecutivi comuni, e per conseguenza anche due, tre, quattro, cinque, sei, ... tangenti consecutive comuni.

Se per un punto passano rami di una curva ed di un' altra, quel punto dee considerarsi come intersezione di ciascun ramo della prima curva con ciascun ramo della seconda, epperò equivale ad intersezioni sovrapposte. Se, inoltre, un ramo della prima curva ed un ramo della seconda hanno in la tangente comune, essi avranno ivi due punti comuni, onde equivarrà ad intersezioni. In generale, se in le due curve hanno tangenti comuni, equivale ad punti comuni alle due curve.

Come caso speciale, quando le tangenti della prima curva e le dell'altra, nel punto comune , coincidono tutte insieme in una sola retta , questa, supposto , rappresenta tangenti comuni, onde il numero delle intersezioni riunite in sarà . Ma questo numero può divenir più grande [47], ogniqualvolta la retta abbia un contatto più intimo con alcuna delle linee proposte, cioè la incontri in più di od punti riuniti in . Per esempio, se in la retta avesse punti comuni colla prima curva ed colla seconda, il punto equivarrebbe ad intersezioni delle due curve. Del che è facile persuadersi, assumendo un sistema di curve