Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/363

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Se questa dee contenere un altro punto successivo di , cioè se la retta deve in avere punti comuni colla curva, ciò equivale ad una nuova condizione. Se la stessa cosa si esige per altre rette passanti per , si avranno in tutto condizioni. Ora, quando per passano rette, ciascuna avente ivi punti comuni colla curva, è un punto multiplo secondo (31); dunque, se la curva deve avere in un punto , ciò equivale ad un numero di condizioni; ossia .

34. Da quante condizioni è determinata una curva d'ordine ? Se la curva debba avere un dato punto multiplo secondo , ciò equivale (33) ad condizioni. Ma una linea d'ordine , dotata di un punto , è il sistema di rette concorrenti in (31); e, affinchè queste siano pienamente individuate, basta che sia dato un altro punto per ciascuna di esse. Dunque:

Il numero delle condizioni che determinano una curva d'ordine è

.1

Se sono date solamente condizioni, vi saranno infinite curve d'ordine che le potranno sodisfare, e fra esse ve ne saranno alcune (siane il numero) che passeranno per un punto qualunque dato. L'intero sistema di quelle curve, in numero infinito, chiamasi serie d'ordine e d'indice .2[48]

Per esempio, le tangenti di una curva della classe formano una serie d'ordine 1 e d'indice .

In generale esiste sempre una linea che inviluppa una serie data <d'indice >, cioè che in ciascun de' suoi punti tocca una curva della serie. <Essa è il luogo dei punti, pei quali due delle curve della serie coincidono.> Tutta la serie si può concepire generata dal movimento continuo di una curva, che vada cambiando di forma e di posizione, in modo però da sodisfare alle condizioni proposte. I punti, in cui una curva della serie sega quella che le succede immediatamente, sono anche i punti di contatto fra la prima di queste curve e la linea inviluppo della serie. [49]

35. Il teorema or ora dimostrato (34) ci mette in grado di stabilire quest'altro:

  1. Così, una curva della classe è determinata da condizioni.
  2. Jonquières, Théorèmes généraux concernant les courbes géométriques planes d'un ordre quelconque (Journal de M. Liouville, [2e sèrie, t. 6] avril 1861, p. 113).