Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/365

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Ceva1, si ha:

.

Quando il punto è sopra una delle due rette , una delle due coordinate è nulla. Se è sopra , le due coordinate sono entrambe infinite, ma è finito il loro rapporto, che è espresso da .

Supponiamo che si muova sopra una retta data: i punti e genereranno sopra e due punteggiate projettive, cioè ad ogni posizione del punto corrisponderà una sola posizione di e reciprocamente. Dunque, fra i rapporti che determinano i due punti , avrà luogo una equazione di primo grado rispetto a ciascun d'essi. Siccome poi, nel punto in cui la retta data incontra , entrambi i rapporti diventano infiniti, così quell'equazione non può essere che della forma:

1)
.

Questa relazione fra le coordinate di un punto qualunque di una retta data è ciò che si chiama equazione della retta.

Di quale forma sarà la relazione fra le coordinate di , se questo punto si muove percorrendo una curva d'ordine ? Una retta qualunque, la cui equazione sia la 1), incontra la curva in punti; quindi la relazione richiesta e l'equazione 1) dovranno essere simultaneamente sodisfatte da coppie di valori delle coordinate ; la qual cosa esige necessariamente che la richiesta relazione sia del grado rispetto alle coordinate del punto variabile, considerate insieme.

Dunque, se il punto percorre una curva d'ordine , fra le coordinate variabili di avrà luogo una relazione costante della forma:

2)
,

la quale può dirsi l'equazione della curva luogo del punto mobile.

Reciprocamente: se il punto varia per modo che fra le sue coordinate abbia luogo una relazione costante della forma 2), il luogo del punto è una curva d'ordine .

  1. Dato da Ceva nel 1678. — Einleitung