Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/375

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; cioe comuni a , , e comuni a , ; e tutte le rimanenti saranno in una curva d'ordine .

Da questo teorema segue che gli punti dati comuni alle curve individuano altri punti comuni alle curve medesime. Tutti questi punti sono pienamente determinati dalle curve , , indipendentemente da ; dunque: Qualunque curva d'ordine descritta per intersezioni di due curve d'ordini ( non maggiori di ) passa anche per tutti gli altri punti comuni a queste curve.1 [55]

45. I teoremi or ora dimostrati sono della più alta importanza, a cagione del loro frequente uso nella teoria delle curve. Qui mi limiterò ad accennare qualche esempio interessante.

(a). Una curva d'ordine sia segata da una trasversale ne' punti e da una seconda trasversale ne' punti . Considerando il sistema delle rette come un luogo d'ordine , le rimanenti intersezioni di esse colla curva data saranno (43, b) in una curva d'ordine . Supponiamo ora che coincidano rispettivamente con ; avremo il teorema:

Se ne' punti, in cui una curva d'ordine è segata da una retta, si conducono le tangenti alla curva, esse incontrano la curva medesima in altri punti, situati sopra una curva d'ordine .2

(b). Analogamente si dimostra il teorema generale:

Se ne' punti, in cui una curva d'ordine è segata da un'altra curva d'ordine , si conducono le tangenti alla prima curva, esse la segheranno in altri punti, tutti situati in una curva dell'ordine .

Questo teorema è un'immediata conseguenza della proprietà dimostrata al principio del n. 44, purché si consideri il complesso delle tangenti come un luogo dell'ordine , e la curva d'ordine , ripetuta due volte, come un luogo dell'ordine .

(c). Una curva del terz'ordine passi pei vertici di un esagono e per due de' tre ____________

  1. Cayley, On the Intersection of Curves (Cambridge Mathematical Journal, vol. III, 1843, p. 211).
  2. Maclaurin, l. c. p. 237.