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| 208 | istoria e dimostrazioni |
è eguale alli due quadrati delle linee FM, MD, essendo M angolo retto; ed il quadrato ND è eguale alli due NM, MD; l’eccesso del quadrato FD sopra ’l quadrato ND sarà eguale all’eccesso delli due quadrati FM, MD sopra li due NM, MD, il quale (rimosso il comune quadrato MD) è l’istesso che l’eccesso del quadrato FM sopra ’l quadrato MN: ma perchè FM è eguale alla BA, lati opposti nel parallelogrammo, e la NM è eguale alla LD, e l’eccesso del quadrato BA sopra ’l quadrato LD è il quadrato DA, adunque l’eccesso del quadrato FD sopra ’l quadrato ND è eguale al quadrato DA; e però il quadrato FD è eguale alli due quadrati delle linee ND, DA, cioè delle due ED, DA. Ma a questi due medesimi quadrati è eguale ancora il quadrato del semidiametro CA; adunque la linea FD è eguale alla linea CA. In oltre, perchè nel triangolo FGD la linea IS è parallela alla FG, sarà come FD a DG, cioè come CA ad AB, così ID, cioè ED, a DS; e, dividendo, come CB a BA, così ES a SD. Onde, se intorno all’asse PO intenderemo rivolgersi la sfera ed elevarsi il mezo cerchio PCO sin che la perpendicolare cadente dal punto C, fatto sublime, venga sopra ’l punto B, è manifesto, per il converso del lemma precedente, che la perpendicolare cadente dal punto E verrà in S; e però quando la macchia C comincerà ad apparire nel limbo del disco solare, cioè nel punto B, l’altra E sarà ancora lontana dalla circonferenza del disco per l’intervallo SL. E perchè, fatta la quarta parte della conversione, i perpendicoli delle macchie C, E caderanno ne’ punti D, A nel momento stesso, è chiaro che ’l tempo del passaggio per BA è eguale al tempo del passaggio dell’altra macchia per tutta la SD; del qual tempo è parte quello del transito per LD.
Segue ora che dimostriamo, il tempo del passaggio per BA al tempo per LD aver minor proporzione che la linea BA alla LD: e perchè già consta che il tempo del transito per BA è eguale al so tempo per SD, se sarà dimostrato che il tempo per SD al tempo per DL ha minor proporzione che la linea BA alla LD, sarà provato l’intento. Ma il tempo del passaggio per SD al tempo del passaggio per LD ha la medesima proporzione che l’arco IR all’arco RN (essendo l’arco ENR eguale alla quarta che il punto E descriverebbe nella superficie della sfera nel rigirarsi intorno all’asse PO, nella cui
