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N.° IX.

le sfere omocentriche, ecc.

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fissa col cono sopra descritto. Epperò questa linea avrà il pregio di risultare dalla intersezione simultanea e tripla dei 3 corpi rotondi, cioè di un cono, di un cilindro e di una sfera.

Corollario VI. Movendosi il punto M sulla circonferenza del circolo OT con moto uniforme, anche l’angolo MOT varierà con variazione uniforme. Quindi si può dire, che il pianeta si muove di moto angolare uniforme intorno all’asse del cono. Ed il pianeta nel suo corso serberà simultaneamente tre moti uniformi: uno intorno all’asse della seconda sfera, uno intorno all’asse del cilindro (V. qui sopra Coroll. I.), ed un terzo intorno all’asse del cono ora designato. Il primo asse è mobile nello spazio; gli altri due sono fissi e paralleli fra di loro.

Proposizione VII. Problema. — Costruire sul piano ortogonale la traccia icnografica del corso del pianeta durante una intiera rivoluzione delle due sfere.

Preso come raggio QS, semidiametro del parallelo descritto dal polo P (fig. 3.ª), e come altro raggio la metà della saetta AS, si descrivano due circoli concentrici (fig. 7.ª), e si divida il circolo minore in un certo numero di parti uguali, e il circolo maggiore in un numero doppio di parti uguali, avendo cura che le origini delle divisioni (segnate collo zero sulla figura) siano, nei due circoli, opposte rispetto al centro comune: quindi si numerino le divisioni progressivamente, andando nel medesimo senso, e nel circolo minore si continui la segnatura per due giri, onde avere in ambi i circoli due numerazioni uguali. Quindi si conduca il diametro XX che passa per le origini delle due divisioni, e il diametro perpendicolare YY; e per ogni punto delle divisioni del circolo maggiore condotta una parallela ad YY, per l’omologa divisione del circolo minore si conduca ad incontrar quella una parallela ad XX; gli incontri così ottenuti formeranno una serie di punti a guisa di 8, e questa sarà la projezione icnografica dimandata, in cui XX rappresenterà il piano fondamentale, YY il piano diametrale, e in cui la projezione del pianeta apparirà muoversi secondo l’ordine dei numeri romani scritti sulla curva in corrispondenza a quelli scritti sulle due circonferenze. La ragione di questa costruzione sta nelle regole speciali date per trovare ad ogni valor dato dell’argomento la distanza del pianeta dal piano diametrale (Prop. IV Coroll.) e dal piano fondamentale. (Prop. VI Coroll. III) ¹.

Scolio I. Si noterà facilmente, che l’asse longitudinale della curva è uguale al diametro del parallelo descritto dal polo P della sfera che porta il pianeta, e che la sua larghezza è uguale alla saetta AS (fig. 3.ª), o al diametro del cilindro, su cui si trova la trajettoria descritta dal pianeta nello spazio. Le quattro digressioni estreme dal piano fondamentale, i due passaggi pel punto doppio centrale, e i passaggi pei due apsidi estremi, costituiscono otto fasi principali del movimento, e dividono la curva in otto archi, i quali dal pianeta sono percorsi in tempi eguali.

Scolio II. Combinando l’aspetto della traccia icnografica sul piano ortogonale con la nozione, che la vera curva descritta nello spazio del pianeta è l’intersezione di una sfera AB (fig, 3.ª) con un cilindro di diametro AS, il cui asse è parallelo all’asse AB e tocca la superficie sferica nel punto O, potremo giudicare facilmente della forma che ha la curva percorsa dal pianeta nello spazio. La figura 8.ª indica in modo sufficientemente chiaro in qual guisa la curva si adatta simultaneamente alla sfera ed al cilindro. L’intersezione o punto doppio centrale O coincide col polo del piano ortogonale, designato colla stessa lettera nelle figure precedenti; e così pure si riconoscerà in AB il piano fonda-

↑ In linguaggio moderno diremo, che le equazioni della curva sono le due precedentemente trovate, cioè

$x=\sin {i}\cos {\theta }$

$y=-\sin ^{2}{{\frac {1}{2}}i}\sin {2\theta }$ ,

dove $x$ ed $y$ rappresentano le coordinate rettangole riferite agli assi XX e YY: dalle quali sì potrebbe, volendo, eliminar $\theta$ , La projezione della curva sul piano ortogonale è dunque il risultamento delle combinazioni di due moti vibratorj fra loro perpendicolari, dei quali l’uno compie le sue fasi due volte più velocemente dell’altro, coincidendo le quattro fasi principali del moto più lento colle fasi centrali (o posizioni d’equilibrio) del moto più veloce. La curva risultante è una delle note linee acustiche dì Lissajous (Jamin, Physique, vol. II, tav. III).

[1] In linguaggio moderno diremo, che le equazioni della curva sono le due precedentemente trovate, cioè

$x=\sin {i}\cos {\theta }$

$y=-\sin ^{2}{{\frac {1}{2}}i}\sin {2\theta }$ ,

dove $x$ ed $y$ rappresentano le coordinate rettangole riferite agli assi XX e YY: dalle quali sì potrebbe, volendo, eliminar $\theta$ , La projezione della curva sul piano ortogonale è dunque il risultamento delle combinazioni di due moti vibratorj fra loro perpendicolari, dei quali l’uno compie le sue fasi due volte più velocemente dell’altro, coincidendo le quattro fasi principali del moto più lento colle fasi centrali (o posizioni d’equilibrio) del moto più veloce. La curva risultante è una delle note linee acustiche dì Lissajous (Jamin, Physique, vol. II, tav. III).

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