Pagina:Le sfere omocentriche.djvu/44

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32 Schiaparelli, N.° IX.

zioni di Simplicio comprendono in modo breve e abbastanza preciso gli effetti del movimento della terza e della quarta sfera, e corrispondono egregiamente alla descrizione che qui sopra ho dato dei medesimi effetti. Noi vediamo di più, che alla curva percorsa dal pianeta in conseguenza del suo moversi simultaneo sulla terza e sulla quarta sfera, Eudosso aveva dato il nome d’ippopeda. Se noi proveremo, che questa curva aveva la forma e le proprietà della nostra lemniscata sferica, la dimostrazione potrà dirsi completa.

Non è questa la sola volta, che il nome d’ippopeda si trova applicato ad una linea curva nella geometria dei Greci. Nel suo prezioso Commentario sul primo libro degli Elementi d’Euclide, Proclo parla tre volte di una curva chiamata ippopeda. In un luogo classifica l’ippopeda fra le linee miste (cioè diverse dalle semplici, che erano la retta ed il circolo), e dice che essa appartiene alla classe delle linee spiriche1. Altrove ripete che l’ippopeda è una linea spirica, ed aggiunge che questa curva, sebbene unica, forma un angolo, intersecando sè medesima2. L’ippopeda dunque, secondo Proclo, era una curva dotata di un punto doppio. Maggiori particolarità si trovano in un terzo luogo3, dove, dopo avere narrato come Perseo geometra scoprisse tre linee curve derivanti da sezioni piane del solido detto spira, Proclo espone «l’una di queste sezioni spiriche esser ripiegata sopra sè medesima (ἑμπεπλεγμἐνη) e simile alla ἴππου πἐδη; l’altra allargata nel mezzo e restringentesi verso le estremità; la terza essere allungata, ristretta nel mezzo e più larga alle due estremità.»

È noto, che presso i geometri greci andava designato col nome di σπεῖρα quel solido annulare di rivoluzione, che è generato da un circolo ruotante intorno ad una retta qualunque contenuta nel suo piano, e non passante pel suo centro4. Questo solido, che oggi con vocabolo desunto dalla tecnica architettonica si suol designare col nome di toro può ammettere un’infinità di sezioni differenti; ma considerando solo le sezioni che danno una certa specie di simmetria, e che prima d’ogni altra Perseo ha dovuto studiare, il lettore si avvedrà ben presto dalla descrizione, che dà Proclo delle tre spiriche, che esse rappresentano le tre principali forme risultanti dalla sezione del solido fatta con un piano parallelo all’asse principale. Le tre curve indicate nella figura 10a corrispondono a capello ai caratteri indicati da Proclo. La prima è ripiegata sopra sè medesima, ed ha un punto doppio, proveniente da ciò, che il piano segante tocca la superficie in un punto del circolo di gola; è la curva designata col nome d’ippopeda, e che Proclo dice simile alla ἶππου πέδη. La seconda ha luogo quando il piano segante dista dall’asse più che il centro del circolo generatore; è una specie di ovale, gonfia nel mezzo, e stretta agli estremi. La terza ha luogo quando il piano segante dista dall’asse meno che il centro del circolo generatore, e questa ha una figura allungata, stretta nel mezzo, e larga agli estremi5. L’ippopeda di Proclo (o piuttosto di Perseo) ha


  1. Procli Diadochi in primum Euclidis elementorum librum Commentarii ex recognitione God. Friedlein. Lipsiae in aedibus G. B. Teubneri, 1873, p. 127.
  2. Ibid. p. 128.
  3. Ibid. p. 112.
  4. V. Proclo, nell’opera citata, p. 119: v. pure Erone nelle Definizioni geometriche pubblicate da Friedlcin nel Bullettino del Pr. Boncompagni, t. IV, p. 108. Secondo Erone, alla spira si usava dare anche il nome di χρἰχος (anello). Vitruvio nell’Arch. III, 3 usa il vocabolo spire nel senso di modanature curve annulari nelle basi delle colonne; modanature che sono parti o combinazioni di parti di superficie spiriche.
  5. L’interpretazione qui adottata del passo piuttosto indeterminato di Proclo sulle linee spiriche e sulla forma di queste curve, concorda nel punto essenziale con quella, che come più probabile venne designata da Knoche e da Maerker nel loro pregevolissimo programma scolastico intitolato: Ex Procli successoris in Euclidis Elementa commentariis