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(VI.)

additis homogeneis, erit $(3a^2-3b)x+a^3-c=aq+3x\sqrt[3]{q}-$??$)+3a\sqrt[3]{(}{q}^2-{\sqrt[m]{y}}^2)$. Ponatur primo $(3a^2-3b)x-a\sqrt[3]{(}{q}^2-{\sqrt[m]{y}}^2)$. Sitque similiter secundo $a^3-c^{2}q+3a\sqrt[3]{(}{q}^2-{\sqrt[m]{y}}^2)$. Ex prima harum æquationum habetur $a^2-b=\sqrt[3]{(}{q}^2-{\sqrt[m]{y}}^2)$; atque adeo utrinque cubis factis erit $(a^2-b{)}^3=q^2-{\sqrt[m]{y}}^2$, vel ${\sqrt[m]{y}}^2=q^2+(b-a^2{)}^3$. Loco $\sqrt[3]{(}{q}^2-{\sqrt[m]{y}}^2)$ in æquatione secunda substituatur ejus valor inventus, habebimus $a^3-c=sq+3a^3-3ab$, atque adeo $q=\frac{3ab-2a^3-c}{2}$. Modo loco $q^2$ ponatur $\frac{(3ab-2a^3-c{)}^2}{4}$ in æquatione ${\sqrt[m]{y}}^2=q^2+(b-a^2{)}^3$, fiet ${\sqrt[m]{y}}^2=\frac{(3ab-2a^3-c{)}^2}{4}+(b-a^2{)}^3$. Fin quì il Suzzi; ed ora proseguisco io: $\sqrt[m]{y}=\sqrt[2]{\frac{(3ab-2a^3-c{)}^2}{4}}+(b-a^2{)}^3)$; e perciò $x+a=\sqrt[3]{[}\frac{2ab-2a^3-c}{2}+\sqrt{(}\frac{3ab-2a^3-c{)}^2}{4}+(b-a^2{)}^3]+\sqrt[3]{[}\frac{3ab-2a^3-c}{2}-$??$]$$\frac{(3ab-2a^3-c{)}^2}{4}+(b-a^2{)}^3)]$. Poniamo ora $a=0$, sarà $x=\sqrt[3]{(}-\frac{1}{2}c+\sqrt[]{(}\frac{1}{4}{c}^2+b^3))+\sqrt[3]{(}-\frac{1}{2}c-\sqrt[]{(}\frac{1}{4}{c}^2+b^3)$, la quale è una delle formule Cardaniche, da cui facilmente si derivano le altre tre.

Questo mostra, che la formula del Signor Abbate, dove discorda dalle Cardaniche, non può essere vera.

Dico quinto, che quando il Sig. Abbate era arrivato all’equazione ${\sqrt[m]{y}}^2=\frac{(3ab-2a^3-c{)}^2}{4}+(b-a^2{)}^3$ non poteva ragionevolmente proseguire il suo calcolo più oltre, e passare alla equazione ${\sqrt[m]{y}}^2=$&c.

Prova. Imperciocchè il calcolo analitico s’istituisce per ritrovar qualchecosa, che non era nota: Dunqu qualor la cosa, che si cer-

ca,