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determinanti, sistemi di equazione di primo Grado

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tale scelta in guisa che l’intero $h$ riceva il massimo valore possibile (massimo valore, che chiameremo la caratteristica del dato sistema di equazioni). Dire che $h$ è scelto in questo modo (così da ricevere il massimo valore possibile) è come dire che i determinanti di ordine $k>h$ formati coi coefficienti di $k$ incognite in $k$ delle nostre equazioni sono tutti nulli (ammesso che di tali determinanti ce ne siano, cioè che $k<m$, e che $h<n$), mentre almeno un minore di ordine $h$ (che, come dicemmo, possiamo supporre sia il minore (3)) è differente da zero.

In virtù dei risultati del § 24 alla $r^{esima}$ delle residue $m-h$ equazioni ($r=h+1,h+2,\ldots ,n$) possiamo sostituire la

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1h}&\alpha _{1}-[a_{1,h+1}x_{h+1}+\cdots +a_{1n}x_{n}]\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2h}&\alpha _{2}-[a_{2,h+1}x_{h+1}+\cdots +a_{2n}x_{n}]\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{h1}&a_{h2}&\cdots &a_{hh}&\alpha _{h}-[a_{h,h+1}x_{h+1}+\cdots +a_{hn}x_{n}]\\a_{r1}&a_{r2}&\cdots &a_{rh}&\alpha _{r}-[a_{r,h+1}x_{h+1}+\cdots +a_{rn}x_{n}]\end{vmatrix}}=0$

cioè

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1h}&\alpha _{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2h}&\alpha _{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{h1}&a_{h2}&\cdots &a_{hh}&\alpha _{h}\\a_{r1}&a_{r2}&\cdots &a_{rh}&\alpha _{r}\end{vmatrix}}-x_{h+1}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1h}&a_{1,h+1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2h}&a_{2,h+1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{h1}&a_{h2}&\cdots &a_{hh}&a_{h,h+1}\\a_{r1}&a_{r2}&\cdots &a_{rh}&a_{r,h+1}\end{vmatrix}}-$

$\cdots -x_{n}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1h}&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2h}&a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{h1}&a_{h2}&\cdots &a_{hh}&a_{hn}\\a_{r1}&a_{r2}&\cdots &a_{rh}&a_{rn}\end{vmatrix}}=0$.

In questa equazione i coefficienti di $x_{h+1},x_{h+2},\ldots ,x_{n}$ sono tutti nulli, per quanto abbiamo detto poco sopra circa la caratteristica $h$.

Quindi questa equazione si può scrivere:

(4)

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &\cdots &a_{1h}&\alpha _{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &\cdots &a_{2h}&\alpha _{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\\a_{h1}&a_{h2}&\cdots &\cdots &a_{hh}&\alpha _{h}\\a_{r1}&a_{r2}&\cdots &\cdots &a_{rh}&\alpha _{r}\end{vmatrix}}=0\;(r=h+1,h+2,\ldots ,m)$.

Se h è la caratteristica del sistema [1] del § 24, ed è differente da zero il determinante (3), noi possiamo alle ${\text{m}}-{\text{h}}$