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capitolo v — § 26-27

equazioni dopo la $\mathrm {h^{esima}}$, sostituire le eguaglianze (4) che si ottengono uguagliando a zero gli $\mathrm {m-h}$ determinanti (4) dedotti da (3) orlando con una riga di coefficienti di una di queste $\mathrm {m-h}$ equazioni, e con una colonna dei corrispondenti termini noti.

Distinguiamo due casi:

1°) Uno di questi $m-h$ determinanti orlati è differente da zero. In tal caso le (4) sono contraddittorie; e quindi il dato sistema [1] non è risolubile (non ammette alcun sistema di risoluzioni).

2°) I determinanti orlati sono tutti nulli; allora il dato sistema [1] si riduce a (2). Scelti arbitrariamente i valori di $x_{h+1},x_{h+2},\ldots ,x_{n}$, si dedurranno da (2) con la regola di Leibiz-Cramer i valori di $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{h}$. E otteniamo così, se $h=n$, un solo sistema di soluzioni di (1) e, se $h<n$, infiniti sistemi di soluzioni, ciascuno dei quali è determinato dagli $n-h$ valori dati arbitrariamente a ciascuna delle $x_{h+1},x_{h+2},\ldots ,x_{n}$.

§ 27 - Sistemi di equazioni lineari omogenee.

Se le $\alpha _{i}$ sono nulle, le nostre equazioni [1] del § 24 si dicono, come è noto, omogenee. I determinanti orlati (4) sono tutti nulli, perchè l’ultima colonna è tutta formata di elementi nulli. E il nostro sistema è dunque sempre risolubile; cosa, del resto, evidente a priori, perchè ognuna delle sue equazioni è soddisfatta, ponendo uguale a zero ognuna delle $x$. Se la caratteristica $h$ del sistema è proprio uguale al numero $n$ delle incognite, allora, come sappiamo dal § 26, il sistema di equazioni [1] ammette un unico sistema di soluzioni: quello che si ottiene uguagliando ogni incognita a zero. Quindi:

Un sistema di m equazioni lineari omogenee in n incognite ammette sempre un sistema di soluzioni, almeno quello formato imponendo il valore zero ad ogni incognita. Esso ammette ulteriormente altre soluzioni soltanto se la caratteristica h del sistema è inferiore al numero n delle incognite, perchè in tal caso si possono scegliere $\mathrm {n-1}$ incognite a cui si possono dare valori arbitrari (restando poi univocamente determinati i valori delle residue $h$ incognite).

In particolare, un sistema di n equazioni lineari omogenee in $n$ incognite ammette uno e quindi infiniti sistemi di soluzioni non tutte nulle soltanto se il determinante del sistema è nullo.