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capitolo v — § 27

Posto

P(x)=b_{0}x^{n-1}+b_{1}x^{n-2}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1}

(1)

sarà

\left.{\begin{array}{l}P(a_{1})=b_{0}a_{1}^{n-1}+b_{1}a_{1}^{n-2}+\cdots +b_{n-2}a_{1}+b_{n-1}\\P(a_{2})=b_{0}a_{2}^{n-1}+b_{1}a_{2}^{n-2}+\cdots +b_{n-2}a_{2}+b_{n-1}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\P(a_{n})=b_{0}a_{n}^{n-1}+b_{1}a_{n}^{n-2}+\cdots +b_{n-2}a_{n}+b_{n-1}\end{array}}\right\}

(2)

Le (2) costituiscono un sistema di $n$ equazioni lineari nelle $n$ incognite $b_{0},b_{1},\ldots ,b_{n-2},b_{n-1}$ , (i coefficienti di $P(x)$ ). Il determinante dei coefficienti di tali incognite è il determinante di Vandermonde dei numeri $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1},a_{n}$ ; il quale è differente da zero, perchè tali numeri sono distinti. Il teorema di Leibniz-Cramer ci assicura che le $b$ e quindi anche $P(x)$ sono univocamente determinati. Si potrebbe così dalle (2) dedurre i valori delle $b$ , e sostituire in (1). Ma più direttamente, considerando le (1), (2) come un sistema di $n+1$ equazioni nelle $n$ incognite $b_{0},b_{1},\ldots ,b_{n-1}$ , si trae:

${\begin{vmatrix}P(x)&x^{n-1}&x^{n-2}&\cdots &x&1\\P(a_{1})&a_{1}^{n-1}&a_{1}^{n-2}&\cdots &a_{1}&1\\P(a_{2})&a_{2}^{n-1}&a_{2}^{n-2}&\cdots &a_{2}&1\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\P(a_{n})&a_{n}^{n-1}&a_{n}^{n-2}&\cdots &a_{n}&1\end{vmatrix}}=0$

Sviluppando secondo gli elementi della prima colonna ed indicando con $V(a,b,\cdots ,c)$ il determinante di Vandermonde delle quantità $a_{1},b_{1},\ldots ,c$ si ottiene

$0=-P(a_{1})V(a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},x)+P(a_{2})V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},x)+\cdots$

$+(-1)^{n}P(a_{n})V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n-1},x)+(-1)^{n+1}P(x)V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$

donde

$P(x)=-P(a_{1})(-1)^{n}{\frac {V(a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},x)}{V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}}+$

$+P(a_{2})(-1)^{n}{\frac {V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},x)}{V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}}+\cdots +P(a_{n}){\frac {V(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n-1},x}{V(a_{1},a_{2}\cdots ,a_{n})}}$ .