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determinanti, sistemi di equazione di primo grado

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Calcolare i determinanti reciproci, verificando il teorema di pagina 80-81.

Risposta. Lo studioso farà bene a calcolare i precedenti determinanti anche con lo sviluppo secondo gli elementi di una qualche linea. Più rapidamente si può osservare che $D_{1}=0$, perchè la terza riga è somma delle prime due; che $D_{2}=1$, perchè $D_{2}$ si riduce al termine principale; che $D_{4}=-1$, perchè, scambiando la seconda e la terza riga di $D_{4}$, se ne deduce un determinante il cui sviluppo è ridotto al suo termine principale.

Il determinante $D_{3}$ si può semplificare, per esempio, sottraendo dalla prima riga la seconda e la terza; il determinante $D_{5}$ si semplifica sottraendo dalla prima riga il doppio della seconda.

2° Calcolare

$D={\begin{vmatrix}l&a&b&d&t\\l&m&c&e&s\\l&m&n&f&r\\l&m&n&g&k\\l&m&n&g&q\end{vmatrix}}$

$\Delta ={\begin{vmatrix}x&a&a&a&a\\a&x&a&a&a\\a&a&x&a&a\\a&a&a&x&a\\a&a&a&a&x\end{vmatrix}}$

Risposta Con opportune sottrazioni di righe o di colonne si trova:

$D={\begin{vmatrix}l&a&b&d&t\\0&m-a&c-b&e-d&s-t\\0&0&n-c&f-e&r-s\\0&0&0&g-f&k-r\\0&0&0&0&q-k\end{vmatrix}}=l(m-a)(n-c)(g-f)(q-k),$

donde in particolare

${\begin{vmatrix}l&a&b&c&d\\l&l&a&b&c\\l&l&l&a&b\\l&l&l&l&a\\l&l&l&l&l\end{vmatrix}}=l(l-a)^{4}$.

$\Delta ={\begin{vmatrix}x-a&0&0&0&a\\a-x&x-a&0&0&a\\0&a-x&x-a&0&a\\0&0&a-x&x-a&a\\0&0&0&a-x&x\end{vmatrix}}=(x-a)^{4}{\begin{vmatrix}1&0&0&0&a\\-1&1&0&0&a\\0&-1&1&0&a\\0&0&-1&1&a\\0&0&0&-1&x\end{vmatrix}}$