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determinanti, sistemi di equazione di primo grado

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Risposta Il determinante $D$ dei coefficienti è (esempio 2° a pagina 91) uguale a $l(l-a)^{4}$.

1° Se $l(l-a)^{4}\not =0$, sarà $x=y=z=t=v=0$.

2° Se $l=0,a\not =0$, la caratteristica di $D$ è 4, perchè è differente da zero il minore formato dalle prime 4 righe ed ultime 4 colonne. Si dà allora alla $x$ un valore arbitrario e si tien conto delle prime 4 equazioni, che, essendo $l=0$ risultano omogenee nelle $y$, $z$, $t$, $v$ a determinante non nullo, cosicchè $y=z=t=v=0$.

3° Se $l=a=0$, alle $x,y$ si possono dare valori arbitrari; e il nostro sistema si riduce al sistema:

${\begin{aligned}bz+ct+dv&=0\\bt+cv&=0\\bv&=0\end{aligned}}$

che si discute senza difficoltà.

4° Se $l=a\not =0$, il minore formato dalle prime quattro righe e ultime quattro colonne è

${\begin{vmatrix}a&b&c&d\\a&a&b&c\\a&a&a&b\\a&a&a&a\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a-b&b-c&c-d&d\\0&a-b&b-c&c\\0&0&a-b&b\\0&0&0&a\end{vmatrix}}=a(a-b)^{3}$.

Se $a\not =b$, questo minore è differente da zero; dato alla $x$ un valore arbitrario, si ricavino i valori di $y$, $z$, $t$, $v$, dalle prime quattro equazioni.

5° Resta da esaminare il caso che $l=a=b\not =0$, eccetera eccetera

6° Calcolare il discriminante della equazione

$x^{2}+px+q=0$

e quello della $x^{3}+px+q=0$, confrontando poi coi risultati già noti relativi a queste equazioni.

Risposta Per l’equazione $x^{3}+px+q=0$ la somma dei quadrati $s_{2}$ delle due radici vale $p^{2}-2q$. Quindi il discriminante vale

${\begin{vmatrix}2&-p\\-p&-p^{2}-2p\end{vmatrix}}=p^{2}-4q=4\left({\frac {p^{2}}{4}}-q\right)$.

Ed è ben noto che le due radici di tale equazione sono uguali soltanto se ${\frac {p^{2}}{4}}=q$, eccetera eccetera.

7° Per quali valori di $a$ può avvenire che l’equazione $x^{n}+a=0$ abbia due radici uguali?

8° Per quali valori delle $p$, $q$ l’equazione $x^{3}+px+q=0$ ha due radici uguali?