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capitolo vi — § 30-31

3° Rappresentare graficamente la legge di Boyle-Mariotte. (Se $x$ è il volume d’un gas perfetto alla pressione $y$, è: $xy=costante$; si supponga questa costante, per esempio, uguale a 1). E dedurne come varia $y$ al variare della $x$. (La curva immagine è un’iperbole equilatera).

4° Rappresentare la curva $y={\sqrt {1-x^{2}}}$.

Risposta Si deve trovare un semicerchio.

5° Si rappresenti graficamente qualche fenomeno fisico, partendo o da una legge fisica o da tavole numeriche.

Così, per esempio, sì può rappresentare come varia la intensità luminosa $y$ al variare della distanza $x$ dalla sorgente luminosa ($yx^{2}=\mathrm {cost} .$), oppure come varia la densità $y$ di un corpo, l’acqua, per esempio, col variare della temperatura $x$, eccetera.

§ 31. — Esempi preliminari di limiti.

$\alpha )$ Sia $OP$ un pendolo mobile attorno ad un punto O; e ne sia $OV$ la posizione di equilibrio stabile. Supponiamo che il pendolo si muova in un mezzo così viscoso, che la resistenza del mezzo impedisca al pendolo $OP$ di risalire dopo che sia disceso in $OV$. L’angolo $y$ che $OP$ forma con $OV$ va diminuendo, e diminuisce indefinitamente fino a diventare tanto piccolo quanto si vuole, e, quando è diventato minore di un qualsiasi angolo $\varepsilon$, non cresce più, ma resta minore di $\varepsilon$. Ora $y$ è una funzione del tempo $x$ impiegato dal pendolo nel suo movimento. Quanto più $x$ aumenta, tanto più piccolo $y$ diventa e resta. Cioè che esprimeremo dicendo, che $y$ tende a zero, (ha per limite zero, diventa infinitesimo) se $x$ cresce indefinitamente (per $x=+\infty$) e scrivendo $\lim _{x=+\infty }y=0$.

$\beta$ Sia ancora $OP$ un pendolo oscillante attorno ad un punto $O$; e ne sia $OV$ la posizione di equilibrio stabile. Per fissare le idee, supponiamo che gli attriti, la resistenza del mezzo siano tali che, se il pendolo parte da una posizione $OP$ che con $OV$ fa un angolo $\alpha$, esso, oscillando, giunga dall’altra parte di $OV$ fino alla posizione $OP_{1}$, che con $OV$ fa angolo $\textstyle -{\frac {\alpha }{2}}$. Cosicchè, tenendo conto dei segni, possiamo dire che, se l’angolo $y$ di $OP$ con $OV$ ha il valore $\alpha$ al principio di una oscillazione, il valore di $y$ varia durante l’oscillazione e, partendo da $\alpha$, e passando per lo zero, giunge fino al valore $-{\frac {\alpha }{2}}$. Naturalmente poi il