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funzioni, limiti

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§ 32. — Limiti.

Cerchiamo di dare una definizione di limite, che corrisponde alla nozione intuitiva messa in evidenza dagli esempi del § 31.

A) In generale sia $y$ una funzione della $x$ definita in un certo campo $G$.

Noi scriviamo $\lim _{x=a}y=b$ $(a,b)$ numeri finiti), se, preso un numero positivo $\varepsilon$ piccolo a piacere1, la differenza $y-b$ è minore in valore assoluto di $\varepsilon (|y-b|)\leq \varepsilon )$, per tutti i numeri $x$ di $G$ abbastanza vicini ad $a$, ma differenti da $a$.

Noi scriviamo $\lim _{x=\infty }y=b$ ($b$ numero finito) se, preso un numero positivo $\varepsilon$ piccolo a piacere, la differenza $y-b$ è minore in valore assoluto di $\varepsilon (|y-b|\leq \varepsilon )$ per tutti i valori $x$ di $G$ abbastanza grandi in valore assoluto.

Per precisare tale definizione, osseviamo che sono equivalenti le frasi seguenti:

$\alpha )$ “Il numero $x$ è abbastanza vicino al numero $a$„.	$\alpha ')$ Il numero $x$ è abbastanza grande in valore assoluto.
$\beta )$ “La differenza $x-a$ è abbastanza piccola in valore assoluto„.	$\beta ')$ Il numero $\textstyle {\frac {1}{x}}$ è abbastanza piccolo in valore assoluto.
$\gamma )$ Il punto $x$ appartiene ad un certo intorno del numero $a$ (o anche ad un intorno abbastanza piccolo di $a$).	$\gamma ')$Il punto $x$ appartiene ad un certo intorno di $\infty$.

Se poi vogliamo precisare il significato delle parole “abbastanza„ “un certo„, che compaiono nelle frasi precedenti, e che possono avere un significato più o meno ampio a seconda del problema trattato, possiamo dire:

$\delta )$ La differenza $x-a$ non supera in valore assoluto un certo numero $\sigma (|x-a|<\sigma )$2.	$\delta ')$ Il numero $x$ supera in valore assoluto un certo numero $m$
$\varepsilon )$ Il punto $x$ appartiene ad un intorno <math(a-\sigma, a+\sigma)</math> del numero $a$.	$\varepsilon '$ Il punto $x$ appartiene ad un certo intorno $(m,+\infty )$ o $(-\infty ,m)$ del punto $\infty$.

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1. La definizione non cambierebbe di significato se io dicessi solamente: “un numero $\varepsilon$arbitrario„.
2. L'“abbastanza piccolo„ acquista così il significato preciso di “minore di $\sigma$ in valore assoluto„