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funzioni, limiti

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Alla precedente disuguaglianza si possono sostituire le seguenti due:

$y-b\leq \varepsilon$

;

$b-y\leq \varepsilon$

(2)

che si possono scrivere

$b-\varepsilon \leq y\leq b+\varepsilon$.

(3)

La (3) dice che $y$ è compreso tra $b-\varepsilon$ e $b+\varepsilon$.

I valori che la $y$ assume per i citati valori di $x$ formano dunque una classe di numeri, il cui limite inferiore $l$ non è inferiore a $b-\varepsilon$, e il cui limite superiore $L$ non è superiore a $b+\varepsilon$.

Osservazione critica.

Questa ultima osservazione permette di presentare sotto nuova luce la definizione di limite, e di vederne le possibili generalizzazioni. E forse per qualche lettore la seguente trattazione potrà apparire più facile della precedente. Premettiamo una osservazione.

Siano $\gamma _{1},\gamma _{2}$ due intorni del punto a; e sia $\gamma _{1}$ una parte di $\gamma _{2}$ (cioè i punti di $\gamma _{1}$ appartengono a $\gamma _{2}$). Tra i valori che $y$ assume per i valori di $x$ (distinti da $a$ e che appartengono a $G$) appartenenti a $\gamma _{2}$ saranno compresi anche i valori assunti da $y$, quando $x$ (sempre appartenendo a $G$ ed essendo distinto da $a$) si muove entro $\gamma _{1}$ (e ciò perchè, per ipotesi, $\gamma _{1}$ è interno a $\gamma _{2}$). Quindi evidentemente: I limiti $\mathrm {L} _{1}$, $\mathrm {l} _{1}$ superiore e inferiore dei valori assunti da y quando x varia in $\gamma _{1}$ (colle solite restrizioni) e i limiti analoghi $\mathrm {L} _{2}$, $\mathrm {l} _{2}$ relativi a $\gamma _{2}$ soddisfano alle $\mathrm {L} _{2}\geq \mathrm {L} _{1}\geq \mathrm {l} _{1}\geq \mathrm {l} _{2}$¹. Cioè, mentre un intorno $\gamma$ di a rimpicciolisce, il limite superiore L dei valori corrispondenti di y non aumenta, il limite inferiore l non diminuisce, pure essendo sempre $L\geq l$. Dunque il limite inferiore $\Lambda$ degli L, e il limite superiore $\lambda$ degli l soddisfano alle $\Lambda \geq \lambda$.

Nel nostro caso (il caso elementare) in cui $\lim _{x=a}{y}=b$, preso un $\epsilon$ piccolo a piacere, esiste, come abbiamo veduto, un intorno $\gamma$ di $a$ per cui il limite superiore $L$ non supera $b+\epsilon$, l’inferiore $l$ non è minore di $b-\epsilon$, per cui cioè $L-l$ non supera $2\epsilon$. In tal caso dunque la classe degli $L$ è contigua alla classe degli $l$; cioè $\Lambda =\lambda$. E questo numero $\lambda =\lambda$ di separazione delle due classi coincide appunto col limite $b$ di $y$ per $x=a$. Potremmi dunque anche dire:

Si dice che il limite di y per $\mathrm {x=a}$ esiste, se la classe degli L è contigua alla classe degli l; come valore $\lim _{x=a}{y}$ di questo limite s’intende in tal caso il numero di separazione delle due classi.

Questa definizione è molto analoga a quella data per le aree e i volumi delle figure piane o solide. Si capisce che dalle nostre ricerche elementari resta escluso il caso $\Lambda >\lambda$, in cui secondo le attuali definizioni, non esiste il limite di $y$ per $x=a$; $\Lambda$ e $\lambda$ sono nel caso generale i cosidetti massimo e minimo limite di $y$ per $x=a$. Si possono poi distinguere i limiti per $x=a+$ da quelli per $x=a-$.

Osservazione 1^a. Affinchè queste definizioni abbiano senso, si deve però ammettere che in ogni intorno di a esistono punti x appartenenti a G, ma distinti da a. Vale a dire, se $a$ è finito

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1. Ciò è una facile estensione del teorema evidente:
   Se $a_{1},a_{2}\ldots ,a_{n}$ sono dei numeri, e $a_{1},a_{2}\ldots ,a_{m}$ (con $m\leq n$) sono una parte dei precedenti, il massimo (minimo) dei primi non è inferiore (superiore) al massimo (minimo) di questi ultimi.